Đến nội dung

Hình ảnh

Albania BMO TST 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

vmf.jpg

Câu 1. Chứng minh BĐT sau với mọi $n \geq 2$.

$$\frac{1}{n+1} \left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n-1} \right) > \frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2n}\right)$$

 

Câu 2. Giải phương trình:

$$ \left( x-\frac{1}{x} \right)^\frac{1}{2} + \left( 1-\frac{1}{x} \right)^\frac{1}{2}=x $$ 

 

Câu 3. Từ một điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $\omega$, vẽ tiếp tuyến $PA$ và $PB$ với $A,B$ là tiếp điểm. Từ điểm $M$ bất kì trên dây cung $AB$, ta vẽ đường vuông góc với $OM$, đường thẳng này cắt $PA,PB$ lần lượt tại $C,D$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $CD$.

 

Câu 4. Tìm tất cả các hàm số: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$$ f(x)f(y)=f(x+y)+xy, \forall x, y \in \mathbb{R} $$

 

Câu 5. Tìm tất cả các số nguyên không âm $k,n$ thỏa mãn:

$$ 2^{2k+1}+9.2^k+5=n^2 $$

$$\text{---Hết--}$$

 

 

 


  • LNH yêu thích

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

 

 

Câu 5. Tìm tất cả các số nguyên không âm $k,n$ thỏa mãn:

$$ 2^{2k+1}+9.2^k+5=n^2 $$

$$\text{---Hết--}$$

Đề trông có vẻ đơn giản. Câu này lại càng tếu @@.

Nhận thấy ngay nếu $k\geq 3$ thì $n^2\equiv 5\;(mod\;8)$ là điều vô lí. Do vậy chỉ việc thử với $k=0,1,2$. Ta được cặp $(k,n)=(0,4)$.


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

 

vmf.jpg

 

Câu 4. Tìm tất cả các hàm số: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$$ f(x)f(y)=f(x+y)+xy, \forall x, y \in \mathbb{R} $$

 

 

Chọn $x=y=0\Rightarrow f(0)=0 hoặc f(0)=1$

TH1:f(0)=0

Thay y =0 vào ta có f(x)=0(thỏa mãn)

TH2:f(0)=1Thay x=-y ta được $f(x).f(-x)=1-x^{2}$ (do f(0)=1)*

Thay x=y vào ta có $(f(x))^{2}-x^{2}=f(2x)$ (1)

$\Rightarrow (f(-x))^{2}-x^{2}=f(-2x)\Leftrightarrow \frac{(1-x^{2})^{2}}{(f(x))^{2}}-x^{2}=f(-2x)$ (2)

Đặt $(f(x))^{2}=t$Nhân từng vế của (1),(2) và sử dụng * ta có 

$(\frac{(1-x^{2})^{2}}{t}-x^{2})(t-x^{2})=1-4x^{2}\Leftrightarrow (1-x^{2})^{2}-x^{2}t-\frac{(1-x^{2})^{2}}{t}+x^{4}=1-4x^{2}\Leftrightarrow 2x^{2}+2=t+\frac{(1-x^{2})^{2}}{t}\Leftrightarrow t^{2}-2(a+1)t+(1-a)^{2}=0$ (với $a=x^{2}$)

$\bigtriangleup '=(a+1)^{2}-(1-a)^{2}=4a=(2x)^{2}$

$\left [ f(x) \right ]^{2}=(x+1)^{2};\left [ f(x) \right ]^{2}=(x-1)^{2}$$\Rightarrow f(x)=x+1,f(x)=-x-1,f(x)=x-1,f(x)=1-x$

Thử lại  chỉ có f(x)=x+1và f(x)=1-x tm

Vậy f(x)=0,f(x)=x+1,f(x)=1-x


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 29-05-2014 - 17:21





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh