Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$



#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$

 

 

$VT=\sum \frac{a}{(a+c)(b+c)}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ có

 

$\frac{a}{(a+c)(b+c)}+\frac{a(a+c)}{8}+\frac{a(b+c)}{8}\geqslant \frac{3a}{4}$

 

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được

 

$VT+\frac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)}{8}\geqslant \frac{3(a+b+c)}{4}$

 

$\Leftrightarrow VT\geqslant \frac{9}{4}-\frac{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}{8}\geqslant \frac{9}{4}-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$

 

(do $a+b+c=3$)

 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 19-05-2014 - 20:43


#3
BysLyl

BysLyl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

$\frac{a}{ab+3c}=\frac{a}{ab+ac+bc+c^{2}}=\frac{a}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{4a}{(a+b+2c)^{2}}=\frac{4a}{(c+3)^{2}}$

Cm tương tự $\Rightarrow VT=\frac{4a}{(c+3)^{2}}+\frac{4b}{(a+3)^{2}}+\frac{4c}{(b+3)^{2}}$

Áp dụng BĐT Bunhia:

$\left [ \frac{a}{(c+3)^{2}}+\frac{b}{(a+3)^{2}}+\frac{c}{(b+3)^{2}} \right ](a+b+c)\geq \left ( \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3} \right )^{2}\geq \left ( \frac{9}{a+b+c+3} \right )^{2}=\frac{9}{16} \Leftrightarrow VT\geq \frac{3}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

P/s: có đúng không vậy??  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 19-05-2014 - 20:57

_Be your self- Live your life_  :rolleyes: 


#4
lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$

VT= $\frac{a^{2}}{a^{2}b+3ca}+\frac{b^{2}}{b^{2}c+3ab}+\frac{c^{2}}{c^{2}a+3bc}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3(ab+bc+ca)}$(1)

 

C/m được $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

Thay vào (1)

$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}\geq \frac{3^{2}}{3^{2}+\frac{3^{2}}{3}}=\frac{3}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 19-05-2014 - 20:49

                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#5
buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết

$\frac{a}{ab+3c}=\frac{a}{ab+ac+bc+c^{2}}=\frac{a}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{4a}{(a+b+2c)^{2}}=\frac{4a}{(c+3)^{2}}$

Cm tương tự $\Rightarrow VT=\frac{4a}{(c+3)^{2}}+\frac{4b}{(a+3)^{2}}+\frac{4c}{(b+3)^{2}}$

Áp dụng BĐT Bunhia:

$\left [ \frac{a}{(c+3)^{2}}+\frac{b}{(a+3)^{2}}+\frac{c}{(b+3)^{2}} \right ](a+b+c)\geq \left$$ ( \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3} \right )^{2}\geq \left ( \frac{9}{a+b+c+3} \right )^{2}=\frac{9}{16} $$\Leftrightarrow VT\geq \frac{3}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

P/s: có đúng không vậy??  :(

Chỗ này Bunhia nhầm sửa lun

thành $\sum \frac{a}{c+3}=\sum \frac{a^{2}}{ac+3a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum ab+9}\geq ...$


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh