Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$
CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$
#1
Đã gửi 24-05-2014 - 17:41
#2
Đã gửi 24-05-2014 - 17:56
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$
Bài này đặt $b+c-a=x, a+c-b=y,a+b-c=z (x,y,z>0)$
Ta có $\frac{2a}{b+c-a}=\frac{y+z}{x}=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}$
Tương tự với 2 cái còn lại ta được
$\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{b+a-c}=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{z}{x}+\frac{x}{z})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})\geq 6$
#3
Đã gửi 24-05-2014 - 17:59
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$
BĐT cần chứng minh
$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{b+c-a}+\frac{a+b+c}{a+c-b}+\frac{a+b+c}{a+b-c}\geqslant 9$
BĐT này luôn đúng vì theo S.Vac ta có
$(a+b+c)(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a})\geqslant \frac{9(a+b+c)}{a+b+c}=9$
Vậy ta có đpcm
- Ham học toán hơn và Pham Le Yen Nhi thích
#4
Đã gửi 24-05-2014 - 19:21
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$
Cách khác:
$BĐT\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+c-a}=\sum \frac{a^{2}}{ab+ac-a^{2}}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)-\sum a^{2}}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum a^{2}\geqslant \sum ab(DPCM)$
#5
Đã gửi 25-05-2014 - 06:48
Theo AM-GM $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6\sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )}}$
$\sqrt{\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )}\leq \frac{1}{2}\left (b+c-a+c+a-b \right )=c$
tương tự $\sqrt{\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )}\leq a$
$\sqrt{\left ( b+c-a \right )\left ( a+b-c \right )}\leq b$
$\Rightarrow \left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )\leq abc$
$\Rightarrow 6\sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )}}\geq 6$
$\Rightarrow \frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 25-05-2014 - 07:51
- hoanganhhaha yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh