Chủ đề này có 2 trả lời

[HungNT]

Giải hộ mình bài này với

Cho $x,y,z$ dương thoả mãn $x+y+z\leq 3$

$maxA=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+2\left ( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right )$

[25 minutes]

Giải hộ mình bài này với

Cho $x,y,z$ dương thoả mãn $x+y+z\leq 3$

$maxA=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+2\left ( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right )$

Ta sẽ chứng minh 

         $\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x}\leqslant \frac{2+\sqrt{2}}{2}(x+1)$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x})^2\leqslant \frac{3+2\sqrt{2}}{2}(x+1)^2$

$\Leftrightarrow \frac{1+2\sqrt{2}}{2}(x^2+1)-4\sqrt{x(x^2+1)}+(2\sqrt{2}-1)x\geqslant 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2x})(\frac{1+2\sqrt{2}}{2}\sqrt{x^2+1}-\frac{4-\sqrt{2}}{2}\sqrt{x})\geqslant 0$

BĐT trên luôn đúng do $x^2+1 \geqslant 2x$

Vậy ta có $\sum \sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x}\leqslant \sum \frac{2+\sqrt{2}}{2}(x+1)\leqslant 6+3\sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

[KietLW9]

Giải hộ mình bài này với

Cho $x,y,z$ dương thoả mãn $x+y+z\leq 3$

$maxA=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+2\left ( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right )$

Dễ có: $(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2x})+(\sqrt{y^2+1}+\sqrt{2y})+(\sqrt{z^2+1}+\sqrt{2x})\leqslant \sqrt{2}(x+1)+\sqrt{2}(y+1)+\sqrt{2}(z+1)=\sqrt{2}(x+y+z+3)$ (1)

Mà $(2-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leqslant (2-\sqrt{2})\sqrt{3(x+y+z)}$ (2)

Cộng (1) và (2), ta được: $\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+2\left ( \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right )\leqslant \sqrt{2}(x+y+z+3)+(2-\sqrt{2})\sqrt{3(x+y+z)}\leqslant 6+3\sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$