Đến nội dung

Hình ảnh

Moldova TST 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Day 1 - 03 March 2014
 
Câu 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $(x,y)$ sao cho
$$\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0$$
 
Câu 2. Cho $a,b\in\mathbb{R}_+$ thỏa mãn $a+b=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$$E(a,b)=3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}.$$
 
Câu 3. Cho $\triangle ABC$ là tam giác nhọn có $AD$ là tia phân giác trong $\widehat{BAC}$ với $D\in BC$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $D$ tới $AB$ và $AC$. Giả sử $BF\cap CE=K$ và $\odot AKE\cap BF=L$ chứng minh rằng $DL\perp BF$.
 
Câu 4. Kí hiệu $p(n)$ là tích tất cả các chữ số khác $0$ của $n$. Chẳng hạn, $p(5)=5, p(27)=14, p(101)=1$. Tìm ước nguyên tố lớn nhất của:
$$p(1)+p(2)+p(3)+...+p(999). $$
 
Day 2 - 29 March 2014
 
Câu 1. Cho $n (n \geq 2)$ số nguyên dương $0<x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$, thỏa mãn
$$x_1 + x_2 + ... + x_n = 1.$$
Chứng minh rằng nếu $x_n \leq \dfrac{2}{3}$ thì tồn tại số nguyên dương $1 \leq k \leq n$ sao cho:
$$\dfrac{1}{3} \leq x_1+x_2+...+x_k < \dfrac{2}{3}. $$
 
 
Câu 2. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$E(a,b,c) = \sum \dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)} . $$
 
Câu 3. Cho $ABCD$ là tứ giác toàn phần. Tia phân giác các góc $\widehat{BAD}$ và $\widehat{BCD}$ cắt nhau tại $K$ sao cho $K \in BD$. Gọi $M$ là trung điểm $BD$. Một đường thẳng đi qua $C$ và song song với $AD$, cắt $AM$ tại $P$. Chứng minh rằng $\triangle DPC$ cân.
 
Câu 4 Cho $n (n \geq 2)$ điểm phân biệt $A_1,A_2,...,A_n$ trên mặt phẳng. Tô màu các trung điểm của các đoạn thẳng tạo bởi mỗi cặp điểm bằng màu đỏ. Có ít nhất bao nhiêu điểm màu đỏ phân biệt?
 
Day 3 - 30 March 2014
 
Câu 1. Chứng minh rằng không tồn tại $4$ điểm trên mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong đó là một số nguyên lẻ
 
Câu 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(xf(y)+y)+f(xy+x)=f(x+y)+2xy,  x,y \in \mathbb{R}$$
 
Câu 3. Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A}$ nhọn. Gọi $P$ là điểm nằm trong $\triangle ABC$ sao cho $\widehat{BAP} = \widehat{ACP}$ và $\widehat{CAP} =\widehat{ABP}$. Đặt $M, N$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABP,ACP$, và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle AMN$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{R}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{AP}. $$
 
Câu 4. Người ta viết lên một đường tròn $n (n \geq 1)$ số thực sao cho tổng của chúng bằng $n-1$. Chứng minh rằng có thể chọn các số $x_1, x_2, ..., x_n$ liên tiếp bắt đầu từ một số nào đó và theo chiều kim đồng hồ sao cho với bất kì số $k (1\leq k \leq n)$, ta có:
$$x_1 + x_2+...+x_k \geq k-1$$.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Câu 2. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$E(a,b,c) = \sum \dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)} . $$

Bài này từng có trên THTT.

Ta đổi biến $\left ( a,b,c \right )\rightarrow \left ( \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z} \right )$ với $x,y,z>0$ và $xyz=1$.

BĐT cần chứng minh trở thành :

$\dfrac{1+5x^3}{\dfrac{y+z}{yz}}+\dfrac{1+5y^3}{\dfrac{z+x}{zx}}+\dfrac{1+5z^3}{\dfrac{x+y}{xy}}\geq 9\Leftrightarrow \dfrac{yz+5x^2}{y+z}+\dfrac{zx+5y^2}{z+x}+\dfrac{xy+5z^2}{x+y}\geq 9$

Thật vậy, ta có :

$\dfrac{yz+5x^2}{y+z}+\dfrac{zx+5y^2}{z+x}+\dfrac{xy+5z^2}{x+y}=\left ( \dfrac{1}{xy+yz}+\dfrac{1}{yz+zx}+\dfrac{1}{zx+xy} \right )+\dfrac{5x^2}{y+z}+\dfrac{5y^2}{z+x}+\dfrac{5z^2}{x+y}\geq 9$

Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta đi chứng minh một kết quả mạnh hơn là :

$\dfrac{9}{2(xy+yz+zx)}+\dfrac{5(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}\geq 9$

Và ta chỉ cần chỉ ra :

$\dfrac{27}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{5(x+y+z)}{2}\geq 9$

Điều này hiển nhiên đúng theo $lAM-GM$ :

$\dfrac{27}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{5(x+y+z)}{2}=\dfrac{27}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{x+y+z}{2}+\dfrac{x+y+z}{2}+\dfrac{3(x+y+z)}{2}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}+\dfrac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}=9$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Câu 2 (ngày 1)

Bằng phương pháp cân bằng hệ số của phương trình tiếp tuyến ta có được:

$3\sqrt{1+2a^{2}}\geq \frac{6\sqrt{11}}{11}(a-\frac{1}{3})+\sqrt{11}\Leftrightarrow (3a-1)^{2}\geq 0$

$2\sqrt{40+9b^{2}}\geq \frac{6\sqrt{11}}{11}(b-\frac{2}{3})+4\sqrt{11}$$\Leftrightarrow (2b-3)^{2}\geq 0$

Cộng 2 vế lại có $E(a,b)\geq 5\sqrt{11}$

Dấu = xảy ra khi $a=\frac{1}{3},b=\frac{2}{3}$

C2:cũng xó thể thế a theo b rồi khảo sát



#4
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

 

Day 1 - 03 March 2014
 
 
Câu 3. Cho $\triangle ABC$ là tam giác nhọn có $AD$ là tia phân giác trong $\widehat{BAC}$ với $D\in BC$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $D$ tới $AB$ và $AC$. Giả sử $BF\cap CE=K$ và $\odot AKE\cap BF=L$ chứng minh rằng $DL\perp BF$.
 

Trước hết ta chứng minh 1 bổ đề*:Cho tam giác ABC có AD là phân giác góc A.E,F lần lượt là hình chiếu của D xuống AB và AC.

Gọi K là giao của BF và CE.CMR $AK$ vuông với BC

Để có điều này ta lại cần phải dùng 1 bổ đề **nữa là :cho tam giác ABC  có AM là đường cao,K di chuyển trên đoạn AM,E,F lần lượt là giao của CK với AB,BK với AC.Khi đó MA là phân giác của EMF

CM**:(dùng hàng điểm điều hòa)Bỏ qua trường hợp tầm thường tam giác cân tại A,xét AB>AC

gọi $I$ là giao của EF và BC,H là giao của AM và EF

Ta có $(I,M,B,C)=-1\Rightarrow A(I,M,B,C)\Rightarrow M(I,H,E,F)=-1$

mà AMI=90 nên MH và MI lần lượt là phân giác trong và ngoài của EMH

Ta cm bổ đề*Phát biểu lại bài toán dưới dạng Cho tam giác ABC có AD là phân giác ,AM là đường cao ,F là hình chiếu của D lên AC,BF cắt AM tại K,CK cắt AB tại E.CMR DEvuông AB

Ta có EMA=FMA$\Rightarrow EMB=FMC$ mà FMC=FMD=DAC(do tg AMDF nt) nên DAC=DAB=EMB$\Rightarrow AEMF$ nội tiếp suy ra AMD=DEA=90(đpcm)

 

Trở lại bài toán :Để cm DL vuông BF chỉ cần cm BELD nội tiếp $\Leftrightarrow BDE=BLE$(luôn đúng do $BLE=EAK=90-B$)

PS làm xong bài này thấy la lá Bài 4 VNTST



#5
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Câu 2. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$E(a,b,c) = \sum \dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)} . $$

Cách khác : 

Ta có $E=\sum \frac{1}{a+b}+5\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=E_1+E_2$

Ta có $(ab+bc+ca)^2 \geqslant 3abc(a+b+c)\Rightarrow a+b+c\leqslant \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}$

Áp dụng AM-GM và Cauchy-Schwarzt ta có 

          $E_1\geqslant \frac{9}{2(a+b+c)}\geqslant \frac{27}{2(ab+bc+ca)^2}$

Và $E_2=5\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=5\sum \frac{(\frac{1}{a})^2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\geqslant \frac{5(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{2}=\frac{5(ab+bc+ca)}{2}$

Khi đó $E\geqslant \frac{27}{2(ab+bc+ca)^2}+\frac{5(ab+bc+ca)}{2}\geqslant 9$, do $ab+bc+ca \geqslant 3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#6
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

$\sqrt{x+y}+2=\sqrt{x}+\sqrt{y}\Leftrightarrow 2+2\sqrt{x+y}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow 8\sqrt{x+y}=xy-4(x+y)-4\Rightarrow 64(x+y)=x^{2}y^{2}+16(x+y)^{2}+16-8xy(x+y)-8xy+32(x+y)$

$\Leftrightarrow (y-4)^{2}x^{2}-8x(y^{2}-3y+4)+16(y-1)^{2}=0$

Ta cần tìm y sao cho $\bigtriangleup '=(4(y^{2}-3y+4))^{2}-16(y-1)^{2}(y-4)^{2}$$=64y(y-2)^{2}$ là số chính phương

$\Leftrightarrow y$ là SCP

Tương tự x cũng là SCP

Đặt $x=a^{2},y=b^{2}$ (a,b nguyên không âm).Khi đó 

$2+2\sqrt{a^{2}+b^{2}}=ab\Leftrightarrow (b^{2}-4)a^{2}-4ab+4-4b^{2}=0$

$\bigtriangleup '=(2b)^{2}-(4b^{2}-4)(b^{2}-4)=4(b^{2}-2)^{2}$

$\Rightarrow a=\frac{2b+2(b^{2}-2)}{b^{2}-4}hoặc a=\frac{2b-2(b^{2}-2)}{b^{2}-4}$ là số nguyên không âm

Ta cần tìm b sao cho t=$\frac{2b+4}{b^{2}-4}$ nguyên không âm

Xét t=0,1,2 đều không có b thỏa mãn

Xét t>2 thì $2b+2b^{2}-4\geq 3b^{2}-12\Leftrightarrow (b-1)^{2}\leq 9\Rightarrow b\leq 4$

Dễ thấy b=3,4 đều thỏa mãn 

b=3thì a=4;b=4 thì a=3

 Vậy (x,y)=(9,16),(16,9)



#7
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
Day 2 - 29 March 2014
Câu 4 Cho $n (n \geq 2)$ điểm phân biệt $A_1,A_2,...,A_n$ trên mặt phẳng. Tô màu các trung điểm của các đoạn thẳng tạo bởi mỗi cặp điểm bằng màu đỏ. Có ít nhất bao nhiêu điểm màu đỏ phân biệt?
Giải 
Thực chất yêu cầu của bài toán chỉ là tìm số trung điểm ít nhất của n điểm trong mặt phẳng
Thoạt đầu ta nghĩ cứ 2 điểm sẽ cho ta 1 trung điểm,nhưng lại có thể có các hình bình hành(2 đoạn chung nhau giao điểm).Điểm mấu chốt của bài toán là ở đó.
Vì có n điểm nên theo nguyên tắc cực hạn sẽ tồn tại 2 điểm có khoảng cách cực đại.Giả sử AB max
Ta sẽ chứng minh 5 trung điểm sau đây là phân biệt:
+,trung điểm M của AB
+,trung điểm của AX
+,trung điểm của BX
+.trung điểm của AY
+,trung điểm của BY
(với X,Y là 2 điểm phân biệt khác A,B trong n-2 điểm còn lại)
Hiển nhiên thấy trung điểm của AX,AB,BX đôi 1  phân biệt(vì nếu trùng nhau thì A,X,B sẽ trùng nhau)
Tương tự trung điểm của AB,BY,AY cũng phân biệt
Ta chỉ cần xét tới sự phân biệt của trung điểm của AX và BY
Gọi N là trung điểm chung của AX,BY$\Rightarrow ABYX$ là hình bình hành $AX=YB hoặc XB=AY$ sẽ lớn hơn AB
vô lý vì ta đã giả sử AB max
Do đó số trung điểm được tạo thành ít nhất là $1+(n-2)+(n-2)=2n-3$ 


#8
gatoanhoc1998

gatoanhoc1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}$

$\Rightarrow x+y\leq 24$

lập bảng thử các số chính phương ta có:

(x,y)=(9;16) hoặc (x,y)=(16;9)

sau đó KL nghiệm



#9
gatoanhoc1998

gatoanhoc1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

câu 2 ngày 1

đăt b=1-a (0<a<1) ta có E=$3\sqrt{1+2a^{2}}+2\sqrt{49+9a^{2}-18a}$

gọi f là hàm số theo x có dạng

f(x)=$3\sqrt{1+2x^{2}}+2\sqrt{49+9x^{2}-18x}$

giải f'=0 $\Leftrightarrow$ x=1/3 hoặc x=3

Lập bảng biến thiên ta có: Minf=f(1/3)=5$\sqrt{11}$

KL:minE=5$\sqrt{11}$ tại a=1/3 và b=2/3



#10
gatoanhoc1998

gatoanhoc1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

2/d2(cách khác)

$\frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)} \geq \frac{3a+3}{a^{3}(b+c)}= \frac{3bc+3(bc)^{2}}{ab+ca}= 3\frac{bc}{ab+ca}+3\frac{(bc)^{2}}{ab+ac}$

Áp dụng bdt Nesbit và CBS có:

$E\geq 9$

Kl: MinE=9 khi a=b=c=1



#11
gatoanhoc1998

gatoanhoc1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

thay x=0 ta có : f(0)=0

thay x=1 có f(f(y)+y)=2y

do f=2x là song ánh nên f(f(y)+y) là song ánh ( hay f(y) là song ánh)

bằng pp thế kết hợp f là song ánh ta tìm được hàm số thoả mãn f(x)=x

thử lại thoả






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh