Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn
$P^{2}(x)-1=4P(x^{2}-4x+1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 02-06-2014 - 23:57
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn
$P^{2}(x)-1=4P(x^{2}-4x+1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 02-06-2014 - 23:57
๖ۣۜI will try my best ๖ۣۜ
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn
$P^{2}(x)-1=4P(x^{2}-4x+1)$
#7 : http://www.artofprob...ic.php?t=316463
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Strygwyr: 08-06-2014 - 10:38
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn $P^2(x)-1=4.P(x^2-4x+1)$. (1)
Để mình dịch lại hoàn chỉnh bài giải.
G/s $(1)$ có nghiệm với bậc nhỏ nhất là đa thức hệ số thực $P(x)$ với $degP=n\in\mathbb{N}$.
$(1)\Leftrightarrow P^2(x)-1=4.P[(x-2)^2-3],\forall x\Leftrightarrow P^2(x+2)-1=4.P(x^2-3),\forall x,\ (2)$.
Đặt $P_1(x)=P(x+2)\Leftrightarrow P_1(x-2)=P(x),\ (\forall x)$ với $\deg P_1=\deg P=n$. Thay vào $(2)$ ta có $P_1^2(x)-1=4.P_1(x^2-5),\forall x,\ (3)$
$\Rightarrow P_1^2(-x)=4.P_1(x^2-5)+1=P_1^2(x),\ (\forall x)$
Do $P_1(x)$ cũng là đa thức hệ số thực nên suy ra $P_1(-x)=-P_1(x),(\forall x)$ hoặc $P_1(-x)=P_1(x),(\forall x)$.
TH $\boxed{P_1(-x)=-P_1(x),\ (\forall x)}$ : $(3)\Rightarrow P_1(x^2-5)\ge\frac{-1}{4},(\forall x)\Rightarrow\forall x\ge-5:\ P_1(x)\ge\frac{-1}{4},$ và $P_1(-x)=-P_1(x)\le\frac{1}{4}$.
$\Rightarrow \forall x\in[-5;5]:\ \frac{-1}{4}\le P_1(x)\le\frac{1}{4}\Rightarrow P_1^2(x)\le\frac{1}{16}<1\overset{(3)}{\Rightarrow}P_1(x^2-5)<0$
$\forall x\in[-5;20]:\ \Rightarrow P_1(x)<0\Rightarrow 0>P_1(-4)=-P_1(4)>0$ (!) Mâu Thuẫn.
TH $\boxed{P_1(-x)=P_1(x),\ (\forall x)}$ : suy ra $P_1(x)=Q(x^2),\ (\forall x)$ với $\deg Q=\frac{1}{2}.\deg P_1=\frac{n}{2}$. Thay vao pt $(3)$ ta co
$Q^2(x^2)-1=4.Q[(x^2-5)^2],\ \forall x\Rightarrow Q^2(x)-1=4.Q[(x-5)^2],\ (\forall x\ge0)$, (4)
Đặt $R(x)=Q(x+5)\Leftrightarrow R(x-5)=Q(x),\ (\forall x)$ với $\deg R=\deg Q=\frac{n}{2}$. Thay vào $(4)$ ta có
$R^2(x-5)-1=4.R[(x-5)^2-5],\ (\forall x\ge0)\Rightarrow R^2(x)-1=4.R(x^2-5),\ (\forall x\ge-5)$, (5)
Đặt $S(x)=R(x-2)\Leftrightarrow S(x+2)=R(x),\ (\forall x)$ với $\deg S=\deg R=\frac{n}{2}$. Thay vào $(5)$ ta có
$S^2(x+2)-1=4.S(x^2-3),\ (\forall x\ge-5)$$\Rightarrow S^2(x)-1=4.S[(x-2)^2-3]=4.S(x^2-4x+1),\ (\forall x\ge-3)$
Xét $U(x)=S^2(x)-1-4.S(x^2-4x+1),\ (\forall x)$ với $deg U\le n$.
Ta có $U(x)$ là đa thức hệ số thực với bậc không quá $n$ và $U(x)=0\ (\forall x\ge-3)$ nên $U(x)\equiv 0\ (\forall x)$ tức là $S^2(x)-1=4.S(x^2-4x+1),\ (\forall x)$.
Nếu $n>0$ thì $S(x)$ cũng là đa thức nghiệm với $\deg S=\frac{n}{2}<\deg P=n$ (!) Mâu thuẫn với g/s $P(x)$ là đa thức nghiệm với bậc nhỏ nhất.
Do đó suy ra $n=0$ thì $P(x)=c=Const\ ,\ \forall x$. Thay vào $(1)$ suy ra $c^2-1=4c\Rightarrow c=2\pm\sqrt{5}$
Vậy $P(x)=2\pm\sqrt{5}$ là 2 đa thức nghiệm thoả $(1)$.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh