Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
songokucadic1432

songokucadic1432

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết

Cho a,b,c la các số thực dương.

Chứng minh rằng:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

Thank  :namtay  :namtay  :namtay


''MUỐN BIẾT PHẢI HỎI MUỐN GIỎI PHẢI HỌC''$\rightarrow$ TRUE STORY

:icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :icon14:  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:  :biggrin:


#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho a,b,c la các số thực dương.

Chứng minh rằng:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

Thank  :namtay  :namtay  :namtay

 

Ta có 

 

$VT=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a+3b}+\sqrt{3a+b})}{\sqrt{(a+3b)(3a+b)}}\leqslant \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})\sqrt{2(4a+4b)}}{\sqrt{(3a+b)(a+3b)}}$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

 

$\sqrt{(a+3b)(3a+b)}=\sqrt{(2a+a+b)(a+b+2b)}\geqslant \sqrt{2a(a+b)}+\sqrt{2b(a+b)}$

 

Suy ra $VT\leqslant \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})\sqrt{2(4a+4b)}}{\sqrt{2a(a+b)}+\sqrt{2b(a+b)}}=2$

 

Đẳng thức xảy ra tại $a=b>0$



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a,b,c la các số thực dương.

Chứng minh rằng:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

Thank  :namtay  :namtay  :namtay

Ta có: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a+b}{a+3b}}+\sqrt{\frac{2b}{a+3b}.\frac{1}{2}}\leqslant \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b})+\frac{1}{2}(\frac{2b}{a+3b}+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}(\frac{a}{a+b})+\frac{3}{4}$

Tương tự: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b+3b}}\leqslant \frac{1}{2}(\frac{b}{a+b})+\frac{3}{4}$

Cộng hai bất đẳng thức này lại, ta có điều phải chứng minh


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh