Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$
Chứng minh rằng:
$x^2+y^2+z^2 \geq 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$
Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$
Chứng minh rằng:
$x^2+y^2+z^2 \geq 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$
Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$
Chứng minh rằng:
$x^2+y^2+z^2 \geq 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$
Ta cần chứng minh
$(a^2+b^2+c^2+2abc)(a^2+b^2+c^2)\geqslant 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2abc(a^2+b^2+c^2)\geqslant 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc $4$ ta có
$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum ab(a^2+b^2)\geqslant \sum 2a^2b^2$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$2abc(a^2+b^2+c^2)\geqslant abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geqslant a+b+c$
$\Leftrightarrow a+b+c+4abc\leqslant 2$
BĐT trên luôn đúng vì dễ dàng chứng minh được $a+b+c\leqslant \frac{3}{2},abc\leqslant \frac{1}{8}$
Đẳng thức xảy ra khi $2a=2b=2c=1$
Ta cần chứng minh
$(a^2+b^2+c^2+2abc)(a^2+b^2+c^2)\geqslant 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2abc(a^2+b^2+c^2)\geqslant 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc $4$ ta có
$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum ab(a^2+b^2)\geqslant \sum 2a^2b^2$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$2abc(a^2+b^2+c^2)\geqslant abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geqslant a+b+c$
$\Leftrightarrow a+b+c+4abc\leqslant 2$
BĐT trên luôn đúng vì dễ dàng chứng minh được $a+b+c\leqslant \frac{3}{2},abc\leqslant \frac{1}{8}$
Đẳng thức xảy ra khi $2a=2b=2c=1$
Bài này còn dấu bằng khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}} ,c=0$
Sống đơn giản, lấy nụ cười làm căn bản !
Bài này còn dấu bằng khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}} ,c=0$
$a,b,c$ là các số thực dương mà ?
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh