Đến nội dung

Hình ảnh

$ \sum_{x,y,z} x^2 \geq 4 \sum_{x,y,z} x^2y^2 $

* * * * - 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
PRONOOBCHICKENHANDSOME

PRONOOBCHICKENHANDSOME

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$

Chứng minh rằng:

$x^2+y^2+z^2 \geq 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$

 

 



#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$

Chứng minh rằng:

$x^2+y^2+z^2 \geq 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$

Ta cần chứng minh 

         $(a^2+b^2+c^2+2abc)(a^2+b^2+c^2)\geqslant 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2abc(a^2+b^2+c^2)\geqslant 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc $4$ ta có 

        $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum ab(a^2+b^2)\geqslant \sum 2a^2b^2$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

        $2abc(a^2+b^2+c^2)\geqslant abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geqslant a+b+c$

$\Leftrightarrow a+b+c+4abc\leqslant 2$

BĐT trên luôn đúng vì dễ dàng chứng minh được $a+b+c\leqslant \frac{3}{2},abc\leqslant \frac{1}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $2a=2b=2c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
Nguyen Huy Tuyen

Nguyen Huy Tuyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Ta cần chứng minh 

         $(a^2+b^2+c^2+2abc)(a^2+b^2+c^2)\geqslant 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2abc(a^2+b^2+c^2)\geqslant 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc $4$ ta có 

        $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum ab(a^2+b^2)\geqslant \sum 2a^2b^2$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

        $2abc(a^2+b^2+c^2)\geqslant abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geqslant a+b+c$

$\Leftrightarrow a+b+c+4abc\leqslant 2$

BĐT trên luôn đúng vì dễ dàng chứng minh được $a+b+c\leqslant \frac{3}{2},abc\leqslant \frac{1}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $2a=2b=2c=1$

Bài này còn dấu bằng khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}} ,c=0$


Sống đơn giản, lấy nụ cười làm căn bản !


#4
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Bài này còn dấu bằng khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}} ,c=0$

$a,b,c$ là các số thực dương mà ?


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh