Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi tuyển sinh lớp 10 ĐHKHTN (2 vòng) năm 2014-2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 75 trả lời

#1
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

*
Phổ biến

Vòng 1

Câu I:

1)GPT   $(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})(2\sqrt{1-x^{2}}+2)=8$

2)Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+y^{2}=1\\ x^{2}+xy+2y^{2}=4 \end{matrix}\right.$

Câu II:

1) Giả sử x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện $x+y+z=xyz$. Chứng minh

$\frac{x}{1+x^{2}}+\frac{2y}{1+y^{2}}+\frac{3z}{1+z^{2}}= \frac{xyz(5x+4y+3z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
$x^2y^2(x+y)+x+y=3+xy$

Câu III:

Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB<BC$. $D$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $AD$ là phân giác $\widehat{ABC}$. Đường thẳng qua $C$ song song với $AD$ cắt trung trực của $AC$ tại $E$. Đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ cắt trung trực của $AB$ tại F.

1) CMR$\triangle ABF$ đồng dạng với $\triangle ACE$.

2) CMR $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy tại $G$.

3)Đường thẳng qua G song song với $AE$ cắt $BF$ ở $Q$. Đường thẳng $QE$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $GEC$ tại $P$.

CM 5 điểm $A,P,G,Q,F$  thuộc một đường tròn.

Câu IV:

Giả sử $a,b,c$ là các số thực dương và $ab+bc+ca= 1$. CMR

$2abc\left ( a+b+c \right )\leq \frac{5}{9}+a^{4}b^{2}+b^{4}c^{2}+c^{4}a^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 14-06-2014 - 12:24

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#2
mnguyen99

mnguyen99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 696 Bài viết

Câu I:

1)GPT   $(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})(2\sqrt{1-x^{2}}+2)=8$

2)Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+y^{2}=1\\ x^{2}+xy+2y^{2}=4 \end{matrix}\right.$

 

Câu 1

2)

(1).4-(2)=$3x^{2}-5xy+2y^{2}=0$

Đến đay pt thành nhân tử

1)

ĐẠt .... thì $ab=8$

mà $a^{2}=b$ 

KHai triển ra là ra x thôi.

PS:đề này là đề chyên hay đề thường vậy

---

Đề thường! (vòng 1) mà


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mnguyen99: 10-06-2014 - 18:17

THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$??? 

 

TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026


#3
smush06

smush06

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

Câu 1
2)
(1).4-(2)=$3x^{2}-5xy+2y^{2}=0$
Đến đay pt thành nhân tử
1)
ĐẠt .... thì $ab=8$
mà $a^{2}=b^{2}$$\Rightarrow a=b\Rightarrow b^{2}=8$
KHai triển ra là ra x thôi.
PS:đề này là đề chyên hay đề thường vậy
---
Đề thường! (vòng 1) mà

Ý a phải là $b=a^{2}$ chứ nhỉ

#4
HoangHungChelski

HoangHungChelski

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 283 Bài viết

Còn câu 2.II nữa cơ mà, post thiếu đề.
II.2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
$x^2y^2(x+y)+x+y=3+xy$
Lời giải: Đặt $x+y=a$, $xy=b$. Phương trình trở thành $ab^2+a=3+b$
*Xét $b=3\Rightarrow a=\frac{3}{5}$ (vô lí)
*Xét $b\neq 3$. Ta có: $b^2a+a=3+b\Leftrightarrow a=\frac{3+b}{b^2+1}\Leftrightarrow a(b-3)=\frac{b^2-9}{b^2+1}=1+\frac{-10}{b^2+1}$
Vì....$\Rightarrow b^2+1\in U(10)=\left \{ 1;2;5;10 \right \}\Rightarrow b\in \left \{ 0;\pm 1;\pm 2;\pm 3 \right \}$
Từ đó tính được $a$. Rồi dễ dàng tính được $x,y$.

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 10-06-2014 - 18:23

$$\boxed{\text{When is (xy+1)(yz+1)(zx+1) a Square?}}$$                                


#5
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

sáng mai mới thi đề chuyên em ạ

Câu hình chỉ cần Cê-va câu b và tứ giác nội tiếp câu c thôi

Bài cuối

đưa giả thiết về $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}$

Và chia $2$ vế của BĐT cần chứng minh cho $abc$

:)


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#6
9nho10mong

9nho10mong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

 

Câu IV: Giả sử $a,b,c$ là các số thực dương và $ab+bc+ca= 1$. CMR

$2abc\left ( a+b+c \right )\leq \frac{5}{9}+a^{4}b^{2}+b^{4}c^{2}+c^{4}a^{2}$

 

Dùng Cauchy Schwarz có

$$ \left( a^4b^2 +b^4c^2+c^4a^2 \right) \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right) \ge \left( ab+bc+ca \right)^2 =1$$

Suy ra

$$ a^4b^2 +b^4c^2+c^4a^2 \ge \frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} $$
Cần chứng minh

$$ \frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} +\frac{5}{9} \ge 2abc \left( a+b+c \right)  \quad{(1)}$$

Đặt 

$$ x=ab \ ; \ y=bc \; \ z=ca >0 $$

Có 

$$p= x+y+z=ab+bc+ca=1 \ ; \ q=xy+yz+zx \ ; \ r =xyz >0$$

Bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $ trở thành

$$ \frac{r}{1-2q}+\frac{5}{9} \ge 2q $$

Dùng Schur có

$$ \frac{r}{1-2q}+\frac{5}{9} \ge \frac{4q-1}{9 \left(1-2q \right)}+\frac{5}{9} $$
Cần chứng minh

$$ \frac{4q-1}{9 \left(1-2q \right)}+\frac{5}{9} \ge 2q $$

Điều đó đúng bởi

$$ \frac{4q-1}{9 \left(1-2q \right)}+\frac{5}{9}-2q=\frac{4 \left( 3q-1 \right)^2}{9 \left( 1-2q \right)} \ge 0 $$

Kết thúc chứng minh .


.

 


#7
Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết

Dùng Cauchy Schwarz có

$$ \left( a^4b^2 +b^4c^2+c^4a^2 \right) \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right) \ge \left( ab+bc+ca \right)^2 =1$$

Suy ra

$$ a^4b^2 +b^4c^2+c^4a^2 \ge \frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} $$
Cần chứng minh

$$ \frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} +\frac{5}{9} \ge 2abc \left( a+b+c \right)  \quad{(1)}$$

Đặt 

$$ x=ab \ ; \ y=bc \; \ z=ca >0 $$

Có 

$$p= x+y+z=ab+bc+ca=1 \ ; \ q=xy+yz+zx \ ; \ r =xyz >0$$

Bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $ trở thành

$$ \frac{r}{1-2q}+\frac{5}{9} \ge 2q $$

Dùng Schur có

$$ \frac{r}{1-2q}+\frac{5}{9} \ge \frac{4q-1}{9 \left(1-2q \right)}+\frac{5}{9} $$
Cần chứng minh

$$ \frac{4q-1}{9 \left(1-2q \right)}+\frac{5}{9} \ge 2q $$

Điều đó đúng bởi

$$ \frac{4q-1}{9 \left(1-2q \right)}+\frac{5}{9}-2q=\frac{4 \left( 3q-1 \right)^2}{9 \left( 1-2q \right)} \ge 0 $$

Kết thúc chứng minh .

Co cach khac de hieu hon khong


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#8
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

Còn câu 2.II nữa cơ mà, post thiếu đề.
II.2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
$x^2y^2(x+y)+x+y=3+xy$
Lời giải: Đặt $x+y=a$, $xy=b$. Phương trình trở thành $ab^2+a=3+b$
*Xét $b=3\Rightarrow a=\frac{3}{5}$ (vô lí)
*Xét $b\neq 3$. Ta có: $b^2a+a=3+b\Leftrightarrow a=\frac{3+b}{b^2+1}\Leftrightarrow a(b-3)=\frac{b^2-9}{b^2+1}=1+\frac{-10}{b^2+1}$
Vì....$\Rightarrow b^2+1\in U(10)=\left \{ 1;2;5;10 \right \}\Rightarrow b\in \left \{ 0;\pm 1;\pm 2;\pm 3 \right \}$
Từ đó tính được $a$. Rồi dễ dàng tính được $x,y$.

 

Nhiều trường hợp quá!



#9
mnguyen99

mnguyen99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 696 Bài viết

sáng mai mới thi đề chuyên em ạ

Câu hình chỉ cần Cê-va câu b và tứ giác nội tiếp câu c thôi

Bài cuối

đưa giả thiết về $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}$

Và chia $2$ vế của BĐT cần chứng minh cho $abc$

:)

trình bày kĩ câu cuối caíu


THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$??? 

 

TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026


#10
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

 

Câu IV:

Giả sử $a,b,c$ là các số thực dương và $ab+bc+ca= 1$. CMR

$2abc\left ( a+b+c \right )\leq \frac{5}{9}+a^{4}b^{2}+b^{4}c^{2}+c^{4}a^{2}$

Câu IV

 

Áp dụng $AM-GM$

 

$\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+(a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2)\geqslant 6\sqrt[6]{\frac{a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2}{9^5}}$

 

Đi chứng minh $6\sqrt[6]{\frac{a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2}{9^5}}\geqslant 2abc(a+b+c)$

 

tương đương với $a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2\geqslant 81(abc)^6(a+b+c)^6$

 

Hoder

 

$(a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant (a+b+c)^3$

 

$\Rightarrow \sum a^4b^2\geqslant (abc)^2(a+b+c)^2$

 

Thế thì cần chứng minh $(abc)^2(a+b+c)^2 \geqslant 81(abc)^6(a+b+c)^6\Leftrightarrow \frac{1}{81}\geqslant (abc)^4(a+b+c)^4$

 

$\Leftrightarrow (abc)(a+b+c)\leqslant \frac{1}{3}$

 

Cái này $AM-GM$ với đk $ab+bc+ac=1$ thì ra luôn

----------------------------------------------------

P/s: có bác nào hum nay làm hết đề k

Phế thật, bài này về em mới làm được chứ thi có làm đc đâu , đi thi bỏ mất mấy câu. Đấy cứ vào đến phòng thi là lại căng hết cả đầu, thấy bọn nó viết viết dài dài thì đầu óc cuống hết cả lên. Kểu này trượt KHTN oy


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 10-06-2014 - 19:36


#11
hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

em có cách khác  $\sum a^4b^2\geq abc(b^2c+c^2b+a^2b)$
nên  $\sum a^4b^2 +\frac{ab+bc+ac}{9} \geq abc(a^2b+b^2c+c^2a+\sum \frac{1}{9a})$
dùng cauchy cho $a^2b+\frac{1}{9b}\geq \frac{2}{3}a$
thế nên ta chỉ cần c/m  $\frac{5}{9}-\frac{(ab+bc+ac)}{9}\geq \frac{4}{3}abc(a+b+c)$  cái này đơn giản vì chỉ cần thay gt vào là ra 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanganhhaha: 10-06-2014 - 19:48


#12
NMDUONG99

NMDUONG99

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Ôi chán quá hnay k lm dc bài nghiệm nguyên. Chả biết mai đề vòng 2 có bớt 'xương' hơn k :'(



#13
quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết

Câu II .2
Ta có :
$ x + y + z = xyz $ suy ra $ \sum \frac{1}{xy} =1$
  Nên $  \frac{x}{1+x^2} = \frac{1}{x( 1 + \frac{1}{x^2})} = \frac{xyz}{(x+y)(x+z)} $
Tương tự

$ \frac{2y}{1+y^2} = \frac{2}{y( 1 + \frac{1}{y^2})} = \frac{2xyz}{(x+y)(x+z)} $
$ \frac{3z}{1+z^2} = \frac{3}{z( 1 + \frac{1}{z^2})} = \frac{3xyz}{(x+y)(x+z)} $

Cộng
  $ \frac{xyz(y+z + 2x+2z + 3x+3y)}{(x+y)(y+z)(z+x)} = VP (dpcm)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 10-06-2014 - 19:59


#14
HungNT

HungNT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết

 

Câu III:

Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB<BC$. $D$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $AD$ là phân giác $\widehat{ABC}$. Đường thẳng qua $C$ song song với $AD$ cắt trung trực của $AC$ tại $E$. Đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ cắt trung trực của $AB$ tại F.

1) CMR$\triangle ABF$ đồng dạng với $\triangle ACE$.

2) CMR $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy tại $G$.

3)Đường thẳng qua G song song với $AE$ cắt $BF$ ở $Q$. Đường thẳng $QE$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $GEC$ tại $P$.

CM 5 điểm $A,P,G,Q,F$  thuộc một đường tròn.

 

untitled.PNG

1/$\Delta AFB,\Delta AEC$ cân tại F,E

$\angle FBA=\angle BAD=\frac{1}{2}\angle A\left ( SLT \right ),\angle ECA= \angle CAD=\frac{1}{2}\angle A\left ( SLT \right )$

$\rightarrow \angle FBA=\angle ECA\rightarrow \Delta FBA\sim \Delta ECA\left ( GG \right )$

2/ giao điểm CF,BE là G, CF và AB là H,BE và AC là K

$\Delta AKG\sim \Delta CKE\rightarrow \frac{CK}{AK}=\frac{CE}{AG}$

$\Delta AHG\sim \Delta BHF\rightarrow \frac{AH}{BH}=\frac{AG}{BF}$

$\Delta ABC$ có $\frac{DB}{DC}.\frac{KC}{KA}.\frac{HA}{HB}=\frac{AB}{AC}.\frac{EC}{AG}.\frac{AG}{BF}=\frac{AB}{AC}.\frac{EC}{BF}=\frac{AB}{AC}.\frac{AC}{AB}=1$

áp dụng ceva ta có ĐPCM

3/$\angle QPG=\angle ECG=\angle QFG$$\rightarrow QFPG$ nội tiếp 

$\angle BQG= \angle GAE\left ( =\angle DGx \right )$

mà $\angle GAE=\angle GAF\rightarrow \angle BQG=\angle GAF$ nên QFAG nội tiếp

suy ra 5 điêm A,P,G,Q,F cùng thuộc 1 đg tròn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 11-06-2014 - 06:48


#15
buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết

attachicon.gifuntitled.PNG

1/$\Delta AFB,\Delta AEC$ cân tại F,E

$\angle FBA=\angle BAD=\frac{1}{2}\angle A\left ( SLT \right ),\angle ECA= \angle CAD=\frac{1}{2}\angle A\left ( SLT \right )$

$\rightarrow \angle FBA=\angle ECA\rightarrow \Delta FBA\sim \Delta ECA\left ( GG \right )$

2/ giao điểm CF,BE là G, CF và AB là H,BE và AC là K

$\Delta AKG\sim \Delta CKE\rightarrow \frac{CK}{AK}=\frac{CE}{AG}$

$\Delta AHG\sim \Delta BHF\rightarrow \frac{AH}{BH}=\frac{AG}{BF}$

$\Delta ABC$ có $\frac{DB}{DC}.\frac{KC}{KA}.\frac{HA}{HB}=\frac{AB}{AC}.\frac{EC}{AG}.\frac{AG}{BF}=\frac{AB}{AC}.\frac{EC}{BF}=\frac{AB}{AC}.\frac{AC}{AB}=1$

áp dụng ceva ta có ĐPCM

3/$\angle QPG=\angle ECG=\angle QFG$$\rightarrow QFBG$ nội tiếp 

$\angle BQG= \angle GAE\left ( =\angle DGx \right )$

mà $\angle GAE=\angle GAF\rightarrow \angle BQG=\angle GAF$ nên QFAG nội tiếp

suy ra 5 điêm A,P,G,Q,F cùng thuộc 1 đg tròn

Chỗ này ngộ nhận hay sao ý

đc thế thì AG song song CE lun rồi cm chi cho dài


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#16
No Memory

No Memory

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

câu nghiệm nguyên mình làm thế này được không?
Đặt xy=a,x+y=b. Khi đó ta được: a2b + b = 3 + a <=> a2b - a +b -3 = 0 (*)
+) Nếu a=0 =>....
+)Nếu a khác 0 thì (*) là phương trình bậc hai một ẩn a.
Khi đó $\triangle$ = 1 - 4b(b-3) $\geq$ 0
$\Leftrightarrow$ 0$\leq b \leq 3$...đến đây ok



#17
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Câu 2 phần I

Ta có : $x+y+z=xyz\Rightarrow x^2+xy+xz=x^2yz\Rightarrow x^2+1=x^2yz-xy-xz+1=\left ( xy-1 \right )\left ( xz-1 \right )$

Tương tự : $y^2+1=\left ( xy-1 \right )\left ( yz-1 \right ),z^2+1=\left ( xz-1 \right )\left ( yz-1 \right )$

Ta có : $\frac{x}{x^2+1}+\frac{2y}{y^2+1}+\frac{3z}{z^2+1}=\frac{x}{\left ( xy-1 \right )\left ( xz-1 \right )}+\frac{2y}{\left ( yz-1 \right )\left ( yx-1 \right )}+\frac{3z}{\left ( xz-1 \right )\left ( yz-1 \right )}=\frac{x\left ( yz-1 \right )+2y\left ( xz-1 \right )+3z\left ( xy-1 \right )}{\left ( xy-1 \right )\left ( yz-1 \right )\left ( xz-1 \right )}=\frac{xyz\left (5x+4y+3z \right )}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( x+z \right )}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#18
hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

câu nghiệm nguyên làm thế là quá ổn :V. ai chả làm thế :v



#19
buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết

Untitled1.png

Câu b)

Gọi $AD\cap CF=G$ $BG$ giao đường song song $AD$ tại $E'$;$CG\cap AB=H;BG\cap AC=I$

Áp dụng Ta lét:

$\frac{AG}{FB}=\frac{AH}{HB};\frac{AG}{CE'}=\frac{AI}{IC}\Rightarrow \frac{FB}{CE'}=\frac{AI.HB}{HA.IC}=\frac{BD}{DC}$

(CEVA)

$=\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{CE}\rightarrow CE=CE'\rightarrow E\equiv E'$

Vậy...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 10-06-2014 - 20:24

%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#20
Messi10597

Messi10597

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 410 Bài viết

Câu 4:

Ta có: $1=(ab+bc+ca)^{2}=a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+2abc(a+b+c)$

$\Rightarrow dpcm\Leftrightarrow a^{4}b^{2}+b^{4}c^{2}+c^{4}a^{2}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\geq \frac{4}{9}$

$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(a^{2}+1)+b^{2}c^{2}(b^{2}+1)+c^{2}a^{2}(c^{2}+1)\geq \frac{4}{9}$

$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(a+b)(a+c)+b^{2}c^{2}(b+c)(b+a)+c^{2}a^{2}(c+a)(c+b)\geq \frac{4}{9}$

$(a+b)(b+c)(c+a)(\frac{a^{2}b^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}c^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}a^{2}}{a+b})\geq \frac{4}{9}$

Nhờ biến đổi tương đương ta chứng minh đc $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)=\frac{8}{9}(a+b+c)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{a^{2}b^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}c^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}a^{2}}{a+b}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2(a+b+c)}$

vậy ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh