Chủ đề này có 2 trả lời

[mnguyen99]

Với x,y là các số thực dương tìm min

$\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}+\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}$

[buitudong1998]

Với x,y là các số thực dương tìm min

$\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}+\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}$

Gợi ý: 

Chứng minh bằng biến đổi tương đương hai BĐT sau: 

$\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}\geqslant \frac{x^{2}}{x^{2}+2y^{2}}$

$\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}\geqslant \frac{2y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}$

[KietLW9]

Với x,y là các số thực dương tìm min

$\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}+\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}$

Ta có: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}-\frac{x^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4x^3y^2(x-y)^2}{(x^3+8y^3)(x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\frac{x^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geqslant \frac{x^2}{x^2+2y^2}$ (1)

           $\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}-\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4y^3(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)}{[y^3+(x+y)^3](x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{2y^2}{x^2+2y^2}$ (2)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{x^2+2y^2}{x^2+2y^2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y>0$