Như thế sao khẳng định được là số nguyên dương !!!?
Mình làm như sau :
Đặt $a=3+\sqrt{5};\ b=3-\sqrt{5};\ u_n=a^n+b^n$. Ta sẽ CM $u_n\in\mathbb{Z}^+(\forall n\in\mathbb{Z}^+)$ bằng qui nạp theo $n$.
- $u_0=2;\ u_1=a+b=6;\ \Rightarrow u_0,u_1\in\mathbb{Z}^+$.
- G/s đúng từ $1$ đến $n$.
- Xét $u_{n+1}$ : Ta có $6u_n=(a+b)(a^n+b^n)=a^{n+1}+b^{n+1}+ab(a^{n-1}+b^{n-1}=u_{n+1}+4.u_{n-1}$
$\Rightarrow u_{n+1}=6u_n-4u_{n-1}\in\mathbb{Z}^+$
Theo nguyên lí qui nạp, vậy $u_n..$ là số nguyên dương $\forall n\in\mathbb{Z}^+$.
Cách bạn làm đúng rồi! Còn cách ông Hoàng thì mình vẫn chưa hiểu.
Cách của mình như sau:
Đặt $S_{n}=xS_{n-1}+yS_{n-2}$
Vì $S_{0}=2;S_{1}=6;S_{2}=28;S_{3}=144$
$\Rightarrow$ Hệ sau: $\left\{\begin{matrix} 6x+2y=28 & \\ 28x+6y=144 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=6 & \\ y=-4 & \end{matrix}\right.$
Vậy có công thức $S_{n}=6S_{n-1}-4S_{n-2}$, có đpcm $\blacksquare$