Đến nội dung

Hình ảnh

Topic về giải tích vecteur

- - - - - giải tích vectuer

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

I. SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH VECTUER

 

1. Hàm vectuer đối vô hướng.

 

Định nghĩa: Nếu ứng với mỗi giá trị của đại lượng vô hướng $t,\, \alpha\leq t\leq \beta$ ta có một vectuer xác định $\overrightarrow{V}$ thì  $\overrightarrow{V}$ gọi là hàm vectuer đối vô hướng $t$.

Ký hiệu $ \overrightarrow{V}= \overrightarrow{V}(t)$

Theo định nghĩa với các giá trị khác nhau của $t$ ta có những vectuer  $\overrightarrow{V}$ khác nhau, đó là các vectuer tự do, ta có thể đưa chúng về cùng gốc toạ độ $O$ bằng các đặt  $\overrightarrow{V}(t)=\overrightarrow{OM}$, lúc đó  $\overrightarrow{V}(t)$ gọi là hàm bán kính vectuer của điểm $M$ và kí hiệu là $\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{OM}$.

Nếu $x,\, y,\, z$ là toạ độ của $M$ thì $x=x(t),\,y=y(t),\,z=z(t)$ và $\overrightarrow{r}=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}+z(t)\overrightarrow{k}$.

Ta gọi hàm $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t)$ là liên tục tại $t=t_0$ nếu $\lim_{t\to t_0}\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{r}(t_0)$.

 

2. Đạo hàm của hàm vectuer

 

a. Định nghĩa: Cho hàm vectuer, $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t),\, \alpha\leq t\leq\beta$, xét tại $t$, cho $t$ số gia $\Delta t$ thì $\overrightarrow{r}$ có vectuer $\Delta \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\left ( t+\Delta t\right )-\overrightarrow{r}(t)$

Nếu $\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t}$ tồn tại thì giới hạn này gọi là đạo hàm của hàm vectuer $\overrightarrow{r}$ theo đối vô hướng $t$ tại đểm $t$.

Ký hiệu $\overrightarrow{r}'(t),$ hay $ \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t}$

 

b. Ý nghĩa hình học

Vectuer đạo hàm của hàm vectuer có phương trùng với phương của tiếp tuyển với tốc đồ của hàm vectuer tại điểm tương ứng.

 

c. Ý nghĩa cơ học

Độ dài của vectuer đạo hàm của bán kính vectuer $\overrightarrow{r}$ của điểm $M$ tại thời điểm $t$ bằng tốc độ của điểm $M$ tại thời điểm $t$.

 

d. Đạo hàm của hàm vectuer.

Cho vectuer $\overrightarrow{r}=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}+z(t)\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{r}'=x'(t)\overrightarrow{i}+y'(t)\overrightarrow{j}+z'(t)\overrightarrow{k}.$

$\Rightarrow\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left (\frac{ d\overrightarrow{r}}{dt} \right )=\overrightarrow{r}''=x''(t)\overrightarrow{i}+y''(t)\overrightarrow{j}+z''(t)\overrightarrow{k}$

 

II. CÁC YẾU TỐ CỦA GIẢI TÍCH VECTUER.

 

1. Trường vô hướng.

 

a.  Định nghĩa: 

Trường vô hướng là phần không gian mà tại mỗi điểm $M(x,y,z)$ của nó có xác định một đại lượng vô hướng $u,\, u(M)=u(x,y,z)$ gọi là hàm vô hướng của nó.

Nếu hàm vô hướng $u$ không phụ thuộc vào $z:\, u=u(x,y)$ thì trường xác định bới $u$ gọi là trường phẳng.

Nếu $u$ không phụ thuộc thời gian thì trường gọi là trường dừng, trái lại thì gọi là trường không dừng.

Quỹ tích các điểm $M(x,y,z)$ của trường mà $u$ lấy cùng một trị số gọi là mặt đồng mức hay mặt đẳng trị của trường.

Như vậy phương trình của mặt đồng mức là $u=u(x,y,z)=C$ vì $C$ có thể lấy nhiều giá trị khác nhau nên trong trường có nhiều mặt đồng mức khác nhau, không giao nhau.

 

Thí dụ: Đối với trường điện thế thì mặt đồng mức có phương trình:

$u=\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=C\Rightarrow x^2+y^2+z^2=\left ( \frac{q}{C} \right )^2$

Đó là những mặt cầu đồng tâm $O$, bán kính $\frac{q}{C}$. Trong trường hợp trường phẳng $u=u(x,y)$ thì quỹ tích các điểm $u(x,y)=C$ gọil à đường đồng mức.

Bây giờ ta chuyển sang xét các đặc trưng quan trọng của trường là tốc độ biến thiên của trường theo một hướng bất kỳ và hướng mà tốc độ biến thiên là lớn nhất.

 

b. Đạo hàm theo hướng.

Ta xét các đạo hàm riêng $\frac{\partial u}{\partial x},\,\frac{\partial u}{\partial y},\,\frac{\partial u}{\partial z}$ của hàm số $u=u(x,y,z)$, về cơ học các đạo hàm này biểu thị tốc độ biến thiên của hàm số đối với $x,y,z$ hay cũng thế theo các hướng của trục $Ox, Oy, Oz$

Cho một hướng đặc trưng bằng vectuer đơn vị $\overrightarrow{e}\left ( \cos \alpha, \cos\beta,\cos\gamma \right )$ và hàm $u=u(M)=u(x,y,z)$

Xét các điểm $M(x,y,z),\, M_1(x_1,y_1,z_1)$ sao cho $\overrightarrow{MM_1}$ song song với $\overrightarrow{e}$

Đặt $\rho =\left | \overrightarrow{MM_1} \right |,\,\Delta x=x_1-x,\, \Delta y=y_1-y,\,\Delta z=z_1-z,\,$ thì $\Delta x=\rho\cos\alpha,\,\Delta y=\rho\cos\beta,\,\Delta x=\rho\cos\gamma$

Nếu $\lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta u}{\rho}=\lim_{\rho\to0}\frac{u(M_1)-u(M)}{\rho}=\lim_{\rho\to0}\frac{u(x+\rho \cos\alpha,y+\rho \cos\beta,z+\rho \cos\gamma)-u(x,y,z)}{\rho}$ tồn tại, thì giới hạn này đạo hàm của hàm số $u$ tại điểm $M$ theo hướng $\overrightarrow{e}$.

Ký hiệu $\frac{\partial u}{\partial e}=\lim_{\rho\to0}\frac{\Delta u}{\rho}$

 

Định lý: Nếu hàm $u=u(x,y,z)$ khả vi tại $M(x,y,z)$ thi đạo hàm theo hướng $\overrightarrow{e}\left ( \cos \alpha, \cos\beta,\cos\gamma \right )$ tại $M(x,y,z)$ tồn tại và được tính theo công thức:

$$\frac{\partial u}{\partial e}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$$

 

Hệ quả:

+) Nếu cho $\overrightarrow{e'}\left ( \cos \alpha', \cos\beta',\cos\gamma' \right )$ ngược với hướng của $\overrightarrow{e}\left ( \cos \alpha, \cos\beta,\cos\gamma \right )$ thì $\frac{\partial u}{\partial e'}=-\frac{\partial u}{\partial e}$

+) Nếu trường phẳng $u=u(x,y)$ thì $\frac{\partial u}{\partial e}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\sin\alpha$ vì $\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha$

 

Thí dụ: Tìm đạo hàm của hàm số $u=xyz$ tại điểm $M(5,1,2)$ theo hướng $\overrightarrow{e}$ nối từ điểm $M$ đến $M_1(7,-1,3)$.

 

Lời giải:

Ta có đạo hàm tại $M(5,1,2)$$\frac{\partial u}{\partial x}=yz=2,\frac{\partial u}{\partial y}=xz=10,\frac{\partial u}{\partial z}=xy=5$

Mặt khác $\overrightarrow{MM_1}=\left ( 2,-2,1 \right )$ nên $\cos\alpha=\frac{2}{3},\cos\beta=-\frac{2}{3},\cos\gamma=\frac{1}{3}$.

Vậy theo công thức tính đạo hàm theo hướng ta có:

$$\frac{\partial u}{\partial e}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma=-\frac{11}{3}$$

Dấu $(-)$ chứng tỏ hàm số $u$ là giảm theo hướng $\overrightarrow{e}$.

 

c. Gradient

Bây giờ ta xét vấn đề: Tốc độ biến thiên của trường theo hướng nào là lớn nhất?

Xét $\frac{\partial u}{\partial e}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$. Ta biết $\overrightarrow{e}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ và hàm vectuer $\overrightarrow{g}=\left ( \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z} \right )$ thì $\frac{\partial u}{\partial e}=\overrightarrow{g}.\overrightarrow{e}=\left | \overrightarrow{g} \right |\left | \overrightarrow{e} \right |\cos\varphi=\left | \overrightarrow{g} \right |\cos\varphi$ với $\varphi$ là góc giữa $\overrightarrow{g}$ và $\overrightarrow{e}$.

Ta thấy $\left | \frac{\partial u}{\partial e} \right |$ lớn nhất khi $\left | \cos\varphi \right |=1$. Ký hiệu $\max\left | \frac{\partial u}{\partial e} \right |=\left | \overrightarrow{g} \right |$

Người ta gọi $\overrightarrow{g}$ là vectuer gradient của trường vô hướng $u$ và ký hiệu $\overrightarrow{g}=\overrightarrow{grad u}$.

Như vậy $\overrightarrow{gradu}=\frac{\partial u}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\overrightarrow{k}$ là các vectuer đơn vị trên 3 trục.

$$\max\left | \frac{\partial u}{\partial e} \right |=\left | \overrightarrow{gradu} \right |=\sqrt{\left ( \frac{\partial u}{\partial x} \right )^2+\left ( \frac{\partial u}{\partial y} \right )^2+\left ( \frac{\partial u}{\partial z} \right )^2}$$

và $\frac{\partial u}{\partial e}=\left | \overrightarrow{gradu} \right |\cos\varphi=proj_{\vec{e}}\, \overrightarrow{gradu}$

 

Định lý 1: Đạo hàm của $u$ theo hướng $\vec{e}$ bằng hình chiếu của vectuer gradient của trường $u$ trên $\vec{e}$. Đó là sự liên hệ giữa đạo hàm theo hướng và gradient.

 

Thí dụ: Xác định gradient của trường điện thế $u=\frac{q}{r}=\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ và tốc độ biến thiên lớn nhất của trường.

 

Lời giải:

Ta có $\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{qx}{\left ( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right )^3}=-\frac{qx}{r^3}$

Tương tự $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{qy}{r^3},\, \frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{qz}{r^3}$

Do đó $\overrightarrow{gradu}=-\frac{q\left ( x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} \right )}{r^3}=-\frac{q\vec{r}}{r^3}$

Tốc độ biến thiên lớn nhất của trường là $V_{\max}=\max\left | \frac{\partial u}{\partial e} \right |=\left | \overrightarrow{gradu} \right |=\frac{q}{r^2}$

Ta biết mặt đồng mức của trường là những mặt cầu đồng tâm $O$, do đó vectuer $\overrightarrow{gradu}=-\frac{q\vec{r}}{r^3}$ là thẳng góc với các mặt đồng mức.

 

Định lý 2: Gradient của trường vô hướng $u=u(x,y,z)$ tại một điểm là đồng phương với pháp tuyến của mặt đồng mức của trường đi qua điểm ấy.

 

Hệ quả: Đạo hàm theo hướng $\frac{\partial u}{\partial e}$ tại $M$ triệt tiêu trên mọi hướng tiếp xúc với mặt đồng mức qua điểm $M$.

 

Tính chất:

1) $\overrightarrow{grad}\left ( u_1+u_2 \right )=\overrightarrow{gradu_1}+\overrightarrow{gradu_2}$

 

2) $\overrightarrow{grad}(Cu)=C\overrightarrow{gradu},\,\,C=const$

 

3) $\overrightarrow{grad}(u_1u_2)=u_1\, \overrightarrow{gradu_2}+u_2\, \overrightarrow{gradu_1}$

 

4) $\overrightarrow{grad}f(u)=f'(u)\, \overrightarrow{gradu}$

 

Bài tập.

 

Bài 1. Xác định mặt đồng mức của các trường vô hướng:

a) $u=f(\rho),\: \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

b) $u=f( r ),\, r=\sqrt{x^2+y^2}$

c) $u=\arcsin\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}$

 

Bài 2. Tính các đạo hàm riêng theo hướng của:

a) $u=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z}{c^2}$ tại $M(x,y,z)$ theo hướng của bán kính vectuer của điểm đó.

Khi nào thì $\frac{\partial u}{\partial e}=\left | \overrightarrow{gradu} \right |$

b) $u=\frac{1}{r},\, r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ theo hướng của $\overrightarrow{e}\left ( \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma \right )$.

Khi nào thì $\frac{\partial u}{\partial e}=0$

c) $u=xy-z^2$ tại điểm $M(-9,12,10)$ theo hướng của phân giác thứ nhất gốc toạ độ $Oxy$.

Tính $\left | \overrightarrow{gradu} \right |$ tại $M$. 

 

Bài 3. Cho $u=x^3+y^3+z^3-3xyz$ tại điểm nào thì 

a) $\overrightarrow{gradu}\perp Oz$

b) $\overrightarrow{gradu}//Oz$

c) $\overrightarrow{gradu}=0$

 

Còn tiếp...

 

 

 


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#2
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

2. Trường vectuer

 

Đọc lý thuyết và tự tìm hiểu(sách Trần Bình :D )

 

3. Các toán tử vi phân.

 

Đối với trường vô hướng $u=u(x,y,z)$, ta có $\overrightarrow{gradu}=\frac{\partial u}{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\overrightarrow{k}$

 

Đối với trường vectuer $\overrightarrow{F}=P\overrightarrow{i}+Q\overrightarrow{j}+R\overrightarrow{k}$, ta có

 

$$div \overrightarrow{F}=\frac{\partial p }{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

 

$$rot\overrightarrow{F}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\\frac{\partial }{\partial x} &\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\P&Q&R \end{vmatrix}$$

 

Người ta gọi $\overrightarrow{grad}, div, rot$ là các toán tử vi phân.

 

+ Toán tử Laplace $\Delta =\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}$ là toán tử mà $$\Delta u =\frac{\partial^2u }{\partial x^2}+\frac{\partial^2u }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$$

 

+ Toán tử Nabla hay toán tử Haminton là vecteur đặng trưng $$\overrightarrow{\triangledown }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$$

 

Theo định nghĩa ta có 

 

$\overrightarrow{\triangledown }u=\overrightarrow{gradu}$

 

$\overrightarrow{\triangledown }\overrightarrow{F}=div\overrightarrow{F}$

 

$\overrightarrow{\triangledown }\wedge \overrightarrow{F}=rot\overrightarrow{F}$

 

Các tính chất

 

+ $div\left ( \overrightarrow{gradu} \right )=\overrightarrow{\triangledown }\overrightarrow{\triangledown }u=\triangle u$, do đó $\overrightarrow{\triangledown }\overrightarrow{\triangledown }=\overrightarrow{\triangledown }^2=\triangle$

 

+ $rot \left ( \overrightarrow{gradu} \right )=\overrightarrow{\triangledown }\wedge \left ( \overrightarrow{\triangledown }u \right )=0$

 

+ $div\left ( rot\overrightarrow{F} \right )=\overrightarrow{\triangledown }\left ( \overrightarrow{\triangledown }\wedge \overrightarrow{F} \right )=0$

 

4. Trường ống và trường thế

 

Nếu $div\overrightarrow{F}=0$ thì trường $\overrightarrow{F}$ gọi là trường ống.

 

Nếu $rot\overrightarrow{F}=0$ thì trường $\overrightarrow{F}$ gọi là trường thế.

 

Nếu trường $\overrightarrow{F}$ vừa là trường ống vừa là trường thế thì trường $\overrightarrow{F}$ gọi là trường điều hòa.

 

Bài tập.

 

Bài 4. Chứng minh các công thức sau:

 

a) $div\left ( u \, \overrightarrow{gradu} \right )=\left | \overrightarrow{gradu} \right |^2+u\triangle u$

 

b) $div\left ( u \, \overrightarrow{gradv} \right )= \overrightarrow{gradu}\, \overrightarrow{gradv} +u\triangle v$

 

$div\left ( \overrightarrow{F_1}\wedge \overrightarrow{F_2} \right )=\overrightarrow{F_2}\, rot\overrightarrow{F_1}-\overrightarrow{F_1}\, rot\overrightarrow{F_2}$

 

                                                                                                                                       Trích: Sách giải tích 2 và 3 Trần Bình

 

Mọi người vào chém đê... mọi ý kiến cứ post lên cũng giải quyết :D


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Mình đang try hard cơ sở lý thuyết điện quang, nên sẽ viết một chút về các Toán tử này vì thấy hay( dĩ nhiên là theo quan điểm điện học ). Hehe :D

 

Định luật Gauss: ( trong tiếng Anh là Gauss's law để áp dụng bên Vật lý )

Cho một trường tích điện, một mặt đóng $S$ trong trường đó, khi đó ta có:

 

$$\Phi_{E} = \oint_{S}\textbf{E}d \textbf{A} = \frac{Q}{\epsilon_{0}}$$

 

Trong đó $\Phi_{E}$ là thông lượng điện trường, $\textbf{E}$ là cường độ điện trường, $d \textbf{A}$ là vi phân điện tích trên mặt $S$, $Q$ và $\epsilon_{0}$ là điện tích trên mặt và hằng số điện trường tự do.

 

Đó là phát biểu thường thấy trong các sách đại cương, nhưng mình muốn trình bày định lý Gauss của toán tử $div$ và hai toán tử vi phân khác $grad, rot$

 

Về chứng minh định luật Gauss thì có thể làm cho mặt cầu rồi sử dụng nguyên lí chồng chất điện trường.

 

Toán tử $grad$

 

Trường vô hướng là trường mà tại mỗi điêm $M(x,y,z)$ xác định một đại lượng $\phi(x,y,z)= \phi(M)$ khả vi liên tục với mọi biến ( điều này cũng tương đương với một hàm vector ) gọi là hàm vô hướng, giả sử tại điểm $P_{0}$ thì vô hướng $\phi(P)=\phi_{0}$, một cách tự nhiên ta sẽ xét đạo hàm của vô hướng của nó, giả sử khi ta dịch chuyển $P_{0}$ đến $P$ theo hướng vector $\textbf{s}$ một vi phân $ds$:

 

$$\frac{\partial \phi}{\partial s} = \lim_{ds \to 0} \frac{\phi_{s} - \phi_{0}}{ds}$$

 

Rõ ràng đạo hàm này phụ thuộc vào việc lấy hướng của $s$. Giờ chúng ta sẽ xét các mặt đẳng thế, đặc trưng bởi phương trình:

 

$$\phi(x,y,z)=\phi_{0}$$

 

Gọi $\textbf{n}$ là pháp tuyến với một mặt mức $\phi_{0}$, khi đó nếu ta biết $\frac{\partial \phi}{\partial n}$ ta sẽ biết đạo hàm theo mọi hướng $\frac{\partial \phi}{\partial s}$. Thật vậy ta có phương trình:

 

$$\frac{\partial \phi}{\partial s} = \frac{\partial \phi}{\partial n}\cos(\textbf{s},\textbf{n})$$

 

Ta định nghĩa:

 

$$grad \phi = \frac{\partial \phi}{\partial n} \textbf{n}$$

 

Khi đó ta có:

 

$$\frac{\partial \phi}{\partial s} = | grad \phi |\cos(\textbf{s},\textbf{n}) = grad_{s} \phi$$

 

Trong hệ tọa độ $O(x,y,z)$ thì ta có:

 

$$grad \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\textbf{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \textbf{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\textbf{k}$$

 

Ta có thể thấy rằng hướng của gradien $\textbf{n}$ là hướng tăng nhanh nhất của vô hướng $\phi$ còn $(-\textbf{n})$ là hướng giảm nhanh nhất. Theo các hướng vuông góc với $n$ thì đạo hàm của nó không đổi. Không chỉ vậy trong nhiệt học thì gradien tại mỗi điểm cũng là hướng tăng nhanh nhất của nhiệt độ. Hoặc nếu một ngọn đồi mà tại điểm $(x,y)$ cao $h(x,y)$ so với mặt nước biển thì $gradien$ tại điểm đó là vector chỉ theo hướng dốc nhất xuống mặt nước biển.

 

Toán tử $div$

 

Thông lượng của vector $\textbf{a}$ qua một mặt vô cùng nhỏ $dS$ là đại lượng.

 

$$dN = \textbf{a}\textbf{n}dS = a_{n}dS$$

 

Ở đây $\textbf{n}$ là vector đơn vị pháp tuyến của mặt $dS$ và $a_{n}$ là thành phần của $\textbf{a}$ theo hướng $\textbf{n}$

 

Từ định nghĩa ta suy ra thông lượng:

 

$$N = \int \int_{S} a_{n}dS = \int_{S} a_{n}dS$$

 

Nếu $S$ là mặt kín thì ta viết:

 

$$N = \oint_{S} a_{n}dS$$

 

Để hiểu hơn về thông lượng qua một mặt, ta thường lấy hai ví dụ 

 

+ Một là thông lượng của vector vận tốc chất lỏng qua một mặt, $dN = v_{n}dS$ chính là thể tích chất lỏng chảy qua phần tử $dS$ sau một đơn vị thời gian theo hướng pháp tuyến ra ngoài của $dS$.

 

+ Hai là thông lượng vector của điện trường qua một mặt kín, theo một nghĩa là đó là số lần các đường sức hoặc số lượng điện tích điểm nằm trên mặt đó ( định luật Gauss )

 

Nội dung của định lý Gauss - $div$ là biến đổi tích phân mặt thành tích phân khối ( tích phân theo vi phân là thể tích ). Để làm điều đó trước tiên ta xét một hình hộp chữ nhật có ba cạnh là vi phân $dx,dy,dz$ theo các trục $\textbf{i},\textbf{j},\textbf{k}$,. Ta xét thông lượng $dN$ của một vector $\textbf{a}$ qua hình hộp đủ nhỏ này.

 

$$dN = \oint a_{n}dS$$

 

Bằng một số biến đổi cho ta:

 

$$dN = \oint a_{n}dS = (\frac{\partial a_{x}}{\partial x} + \frac{\partial a_{y}}{\partial y} + \frac{\partial a_{z}}{\partial z})dxdydz$$

 

Ta đặt:

 

$$div \textbf{a} = \frac{\partial a_{x}}{\partial x} + \frac{\partial a_{y}}{\partial y} + \frac{\partial a_{z}}{\partial z}$$

 

Gọi là toán tử $div$, ta có thể viết lại công thức trên thành:

 

$$dN = div \textbf{a} dV$$

 

Giờ nếu ta lấy tổng các vi phân $dN$ bằng cách chia mặt này ra thành các hình hộp thì có ta:

 

$$N = \oint_{S} a_{n}dS = \int_{V} div \textbf{a}dV$$

 

Nếu mặt $S$ rất nhỏ sao cho mọi điểm trong nó thì $div \textbf{a}$ có thể coi như một đại lượng không đổi thì ta có thể định nghĩa:

 

$$div \textbf{a} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{\oint a_{n}dS}{\Delta{V}}$$

 

Thực chất đây mới là định nghĩa của Toán tử $div$

 

Bữa sau mình sẽ trình bày tiếp về toán tử $rot$, toán tử Hamilton và toán tử Nabla.

 

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh