Lâu lắm mới vào lại diễn đàn, một số topic nhìn cũng loạn quá rồi Thôi post ra ngoài thì hơn.
Bài toán: Cho $x;y;z>0$Tìm GTNN của ( Thi thử GSTT 14/6/2014 )
$$ P= \frac{y+2x^2}{2x+1}+\frac{z+2y^2}{2y+1}+\frac{x+2z^2}{2z+1}+\frac{8}{x+y+z}$$
Mọi người cố gắng phân tích được thì tốt, không thì cố gắng lời giải chỉnh chu và phù hợp với thi đại học nhé, 96er đâu hết rồiiiiiiiiiiiiiiiiii
Ý tưởng là đưa về biến $x+y+z\rightarrow$ khảo sát
$P=2\sum \frac{x^{2}}{2x+1}+\frac{y}{2x+1}+\frac{z}{2y+1}+\frac{x}{2z+1}+\frac{8}{\sum x}=2\sum \frac{x^{2}}{2x+1}+\sum \frac{y^{2}}{2xy+y}+\frac{8}{\sum x}$
AD BCS-đi thi thì chứng minh có
$P\geq \frac{2(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)+3}+\frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+zx)+(x+y+z)}+\frac{8}{x+y+z}\geq \frac{2(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)}+\frac{3(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)^{2}+3(x+y+z)}+\frac{8}{x+y+z}$
(vì $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$)
Đặt $t=x+y+z(t> 0)$
Khi đó $P=f(t)=\frac{2t^{2}}{2t+3}+\frac{3t}{2t+3}+\frac{8}{t}=t+\frac{8}{t}$
$f(t)'=1-\frac{8}{t^{2}},f(t)'=0\Leftrightarrow t=2\sqrt{2}$
Lập bảng biến thiên có $P=f(t)\geq f(2\sqrt{2})$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{2\sqrt{2}}{3}$