Chủ đề này có 28 trả lời

[Ngoc Hung]

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014-2015

                                            MÔN TOÁN (Chuyên Toán)

                                  Thời gian: 150 phút. Ngày thi: 14/06/2014

 

 

Bài 1: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình $x^{2}-x-1=0$. Không giải phương trình, chứng minh rằng $P(x_{1})=P(x_{2})$ với $P(x)=3x-\sqrt{33x+25}$  

Bài 2:   a) Giải phương trình $\sqrt{3+\sqrt{3+x}}=x$

            b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{xy}+3 & \\ \sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{y^{2}+7}=8 & \end{matrix}\right.$

Bài 3:   a) Tìm các số nguyên x, y, z khác 0 thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y=xy+z & \\ x^{2}+y^{2}=z^{2} & \end{matrix}\right.$

            b) Cho a, b, c không âm và a + b + c = 1. Tìm GTNN, GTLN của $P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH, trên cạnh BC lấy điểm E, F sao cho CE = CA, BF = BA. Gọi I, I₁, I₂ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH và M là giao điểm của BI và AC. Chứng minh rằng

            a) Ba điểm A, I₁, E thẳng hàng và IE = IF

            b) Đường thẳng FM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác II₁I₂

Bài 5: Trên bảng có ghi hai số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo bằng quy tắc sau. Nếu có hai số x, y phân biệt thì ghi thêm số z = x + y + xy. Hỏi bằng quy tắc đo có thể ghi được các số 2015 và 2015²⁰¹⁴ hay không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 15-06-2014 - 12:00

[san1201]

Câu 1: Ta tìm được $x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ Và $x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ 

Thay vào $P(x_1)=P(x_2)$

ta được $3\sqrt{5}=\sqrt{41,5+\dfrac{33\sqrt{5}}{2}}-\sqrt{41,5-\dfrac{33\sqrt{5}}{2}}$

Bình phương hai vế ta đươc đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi san1201: 15-06-2014 - 08:40

[san1201]

 

     3       b) Cho a, b, c không âm và a + b + c = 1. Tìm GTNN, GTLN của $P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

 

 

$P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \leq \sqrt{6(a+b+c)} = \sqrt {6}$

Vậy MAX P = $\sqrt{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi san1201: 15-06-2014 - 09:57

[conglb]

ĐK:x>=0;

Bình phương 2 vế thì: ĐK $x>\sqrt{3}$

$PT(1)\Leftrightarrow x^{4}-6x^{2}-x+6 \Leftrightarrow (x-1)(x+2)(x^{2}-x-3) \Leftrightarrow x=1;x=-2=x=...$

Kết hợp với ĐK $\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

[vietleorg]

Bài 1: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình $x^{2}-x-1=0$. Không giải phương trình, chứng minh rằng $P(x_{1})=P(x_{2})$ với $P(x)=3x-\sqrt{33x+25}$  

Vì $x_1$ là nghiệm của pt $X^2-x-1=0$ nên $x_1^2-1=x_1$
Suy ra $\sqrt{33x_1+25}=\sqrt{9x_1+24x_1+25}=\sqrt{9x_1^2+24x+16}=|3x_1+4|$
Tương tự suy ra ta cần c/m đẳng thức sau: $3x_1-|3x_1+4|=3x_2-|3x_2+4|$
Mặt khác thẹ Vi-et suy ra $x_1$ và $x_2$ trái dấu ta g/s $x_1 \geq 0 \geq x_2$
=> vt=-4
nếu $\frac{-4}{3} \leq x_2 \leq 0$ thì vt=vp=-4
nếu $x \leq \frac{-4}{3}$ thì theo viet $x_1+x_2=1 \Rightarrow x_1 \geq \frac{7}{3}$
Như vậy $|x_1|>1;|x_2|>1$ suy ra $|x_1x_2| \neq 1$ trái gt x_1x_2=-1
Vậy ta có dpcm

[Ngoc Hung]

Câu 1: Ta tìm được $x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ Và $x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ 

Thay vào $P(x_1)=P(x_2)$

ta được $3\sqrt{5}=\sqrt{41,5+\dfrac{33\sqrt{5}}{2}}-\sqrt{41,5-\dfrac{33\sqrt{5}}{2}}$

Bình phương hai vế ta đươc đpcm

Bạn đọc cho kỹ đề ra nhé. Không giải phương trình ...

[trang91ht]

Câu hệ $\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{xy}+3 & & \\ \sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{y^{2}+7}=8& & \end{matrix}\right.$

từ Phương trình (1) ta có $(x+y)^{2}=xy+6\sqrt{xy}+9\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=-xy+6\sqrt{xy}+9$

từ phương trinh (2) áp dụng bddt bunhia cho 4 số  

$(\sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{y^{2}+7})^{2}\leqslant 2(x^{2}+y^{2}+14)=2(-xy+6\sqrt{xy}+9+14)=2(-xy+6\sqrt{xy}-9+32)=-2(\sqrt{xy}-3)^{2}+64\leqslant 64$

$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{y^{2}+7}\leqslant 8$

dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}=3 & & \\ x=y& & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=y=3$

[trang91ht]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO            KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT                                                                                                             chuyên HÀ TĨNH

       Hà Tĩnh                                                  NĂM HỌC 2014-2015

                                                                Môn thi : TOÁN ( Chung cho mọi học sinh)

                                                                                            Thời gian làm bài: 120 phút 

 

 

Câu 1. Cho $P=(\frac{-x}{\sqrt{x}(x-9)}+\frac{2}{\sqrt{x}-3}-\frac{1}{\sqrt{x}+3}): (\sqrt{x}+3 - \frac{x}{\sqrt{x}-3})$  , với $x> 0, x\neq 9$ .

              a) Rút gọn biểu thức P.

              b) Tìm giá trị của $x$ sao cho $P= \frac{-1}{4}$

Câu 2. Cho phương trình $x^{2}-2(m-2)x+m^{2}-2m+2=0$ ($m$ là tham số )

              a) Giải phương trình khi $m=-1$

              b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn: $\left | 2(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2} \right |=3$ .

Câu 3.  a) Giải phương trình  $\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1}=-1$

             b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} xy^{2}+2y^{2}-2=x^{2}+3x & & \\ x+y=3\sqrt{y-1} & & \end{matrix}\right.$

Câu 4.  Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ , có $\widehat{BAC}=45^{\circ}$ , $BC=a$ . 

             Gọi $E,F$ tương ứng là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống $AC$ , từ $C$ xuống $AB$ . Gọi $I$ là điểm đối xứng của $O$ qua $EF$ .

               a) Chứng minh $BFOC,AEIF$ là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

               b) Tính $EF$ theo $a$ .

Câu 5. Biết phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ có nghiệm .

            Chứng minh $a^{2}+b^{2}\geqslant \frac{4}{5}$ .

    -HẾT-

 

Thí sinh không sử dụng tài liệu 

Giám thị không giải thích gì thêm .

Hết 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trang91ht: 16-06-2014 - 21:15

[Yagami Raito]

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014-2015

                                            MÔN TOÁN (Chuyên Toán)

                                  Thời gian: 150 phút. Ngày thi: 14/06/2014

 

 

Bài 1: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình $x^{2}-x-1=0$. Không giải phương trình, chứng minh rằng $P(x_{1})=P(x_{2})$ với $P(x)=3x-\sqrt{33x+25}$  

Bài 2:   a) Giải phương trình $\sqrt{3+\sqrt{3+x}}=x$

            

Bài 3:   

            b) Cho a, b, c không âm và a + b + c = 1. Tìm GTNN, GTLN của $P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

 

Câu :1  Dễ thấy $x_1=-x_2$: từ đó lấy $P(x_1)-P(x_2)$ là được

Câu 2 a) ta có thể đặt ẩn phụ để giải Đặt $\sqrt{3+x}=t$

Đưa về hệ $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3+t}=x & & \\ \sqrt{3+x}=t & & \end{matrix}\right.$

Câu 3 Tìm max áp dụng B.C.S

Tìm min thì dùng $P \geq {2(a+b+c)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 15-06-2014 - 12:07

[Viet Hoang 99]

 

Câu 5. Biết phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ có nghiệm .

            Chứng minh $a^{2}+b^{2}\geqslant \frac{4}{5}$ .

Bài 5:

Gọi nghiệm của $PT$ là $x_0$

$\Rightarrow x_0^4+ax_0^3+bx_0^2+ax_0+1=0$

• Nếu $x_0=0\Rightarrow $ Vô lý
• Nếu $x_0\neq 0$

 

$PT\Leftrightarrow x_0^2+ax_0+b+a.\frac{1}{x_0}+\frac{1}{x_0^2}=0$

Đặt $x_0+\frac{1}{x_0}=t$ với $|t|\geq 2$

$PT\Leftrightarrow t^2-2+at+b=0$

$\Leftrightarrow t^4=(-2+at+b)^2\leq \left [ (b-2)^2+a^2 \right ](t^2+1)$ (Áp dụng BCS)

$\Rightarrow a^2+(b-2)^2\geq \frac{t^4}{t^2+1}$

Vậy ta cần chứng minh: $\frac{t^4}{t^2+1}\geq \frac{16}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{(t^2-4)(5t^2+4)}{5(t^2+1)}\geq 0$

$\Leftrightarrow t^2\geq 4$

$\Leftrightarrow |t|\geq 2$ (luôn đúng)

 

 

 

 

Câu 3. 

             b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} xy^{2}+2y^{2}-2=x^{2}+3x & & \\ x+y=3\sqrt{y-1} & & \end{matrix}\right.$

 

 

Bài 3:

$b/$

 

$PT1\Leftrightarrow y^2(x+2)=x(x+2)+x+2\Leftrightarrow (x+2)(y^2-x-1)=0\Leftrightarrow  \begin{bmatrix}x=-2  &  & \\ y^2=x+1  &  &  \end{bmatrix}$

• Nếu $x=-2$

Thay vào $PT2$ có: $y-2=3\sqrt{y-1}\Leftrightarrow \left ( \sqrt{y-1} \right )^2-3\sqrt{y-1}-1=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{y-1}=\frac{1}{2}(3+\sqrt{13})$

Lẻ thế

• Nếu $y^2=x+1$

Thay vào $PT2$ có: $y^2-1+y=3\sqrt{y-1}$

Ai làm nốt đi

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 15-06-2014 - 12:41

[Oral1020]

3b)

Do $0 \le \sqrt{a+b} \le 1$

$\sqrt{a+b} \ge a+b$

Tương tự $\sqrt{b+c} \ge b+c ;\sqrt{a+c} \ge a+c$

$\Rightarrow VT \ge 2(a+b+c)=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 15-06-2014 - 13:16

[9nho10mong]

Bài 5: Trên bảng có ghi hai số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo bằng quy tắc sau. Nếu có hai số x, y phân biệt thì ghi thêm số z = x + y + xy. Hỏi bằng quy tắc đo có thể ghi được các số 2015 và 2015²⁰¹⁴ hay không ?

 

Theo quy tắc như đề bài thì từ hai số ban đầu là $ \displaystyle 1 \ ; \ 5 $ sinh ra số $ \displaystyle 1+5+ \left(  1 \cdot 5\right)=11 $ .

Từ hai số phân biệt $ \displaystyle x \ ; \ y $ thì tạo thành số mới $ \displaystyle z=x+y+xy $, ta thấy

$$  z+1 = \left(  x+1 \right) \cdot \left( y+1 \right) $$

Ta luôn có

$$ \left( x+1 \right) \cdot \left( y+1 \right) \ \vdots \ 24 $$

với $ \displaystyle \left( x,y \right) \neq \{ \left(1,5 \right) \ ; \ \left( 5,1 \right) \} $.

 

Tức là số mới $ \displaystyle z $ được tạo thành trên bảng theo quy tắc trên đều thỏa 

$$ z+1 \ \vdots \ 24 \ ;  \ z \neq \{ 1,5,11 \}  $$
Cả hai số $ \displaystyle 2015 \ ; \ 2015^{2014} $ đều không thỏa điều trên .

 

Tức là không thể tạo ra chúng bằng quy tắc như trong đề bài.

[HungNT]

4/

a/CI cắt AI₁ tại T, ta có $\angle ACT+\angle CAT=90^{\circ}\rightarrow \angle CTA=90^{\circ}\rightarrow CT \bot AT$ hay $CT \bot AI_{1}$

Mà $\Delta CAE$ cân$\rightarrow CA \bot AE$ nên A,I₁,E thẳng hàng

b/ Ta cm đc $\Delta AI_{2}E$ vuông cân tại I₂ và $\Delta AI_{1}F$ vg cân tại I₁ 

nên FEI₁I₂  nội tiếp đg tròn đk EF

dễ cm dc I₂EI₁I nội tiếp nên 5 điểm I₂,E,I_1,I,F cùng thuộc đg tròn đk EF

$\Delta MAB=\Delta MFB\left ( CGC \right )\rightarrow \angle MFB=90^{\circ}\rightarrow DPCM$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 15-06-2014 - 15:11

[Ngoc Hung]

Bài 5:

Bằng quy tắc z = x + y + xy nên các số được ghi trên bảng là: 1, 5, 11, 23, 71, … Dễ dàng nhận thấy các số viết trên đều chia cho 3 dư 2 (Tất nhiên loại trừ số 1).

Mà $2015^{2014}$ chia cho 3 dư 1. Do đó $2015^{2014}$ không thuộc dãy số trên

            Mặt khác z + 1 = (x + 1)(y + 1). Như vậy nếu cộng thêm 1 vào các số thuộc dãy trên thì ta được dãy các số: 2, 6, 12, 24, 72, … và các số thuộc dãy mới này có dạng $2^{n}.3^{m}$ (n, m là các số tự nhiên). Do 2015 + 1 = 2016 = 256. 63 =2⁴. 3². 7 nên không thể viết được số 2015

            Vậy ta không thể ghi được các số 2015 và 2015²⁰¹⁴

[Ngoc Hung]

Bài 3b:

Áp dụng BĐT Bunhia ta có: $P^{2}=\left ( \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \right )^{2}\leq 6\Rightarrow P\leq \sqrt{6}$

Vậy GTLN của P là $P=\sqrt{6}$. Đạt được khi $a=b=c=\frac{1}{3}$.

Mặt khác $P^{2}=2(a+b+c)+2\sqrt{(a+b)(b+c)}+2\sqrt{(b+c)(c+a)}+2\sqrt{(c+a)(a+b)}$

Ta lại có $\sqrt{(a+b)(b+c)}=\sqrt{ab+bc+ca+b^{2}}\geq b$, tương tự được $P^{2}\geq 4\Rightarrow P\geq 2$

Vậy GTNN của P là 2. Đạt được khi (a, b, c) là hoán vị (0, 0, 1)

[vietleorg]

Câu :1  Dễ thấy $x_1=-x_2$: từ đó lấy $P(x_1)-P(x_2)$ là được

nếu $x_1=-x_2$ thì $x_1+x_2=0$ trái vi-ét
Cách làm của bạn sai r

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietleorg: 15-06-2014 - 17:51

[angleofdarkness]

Bài 3:   a) Tìm các số nguyên x, y, z khác 0 thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y=xy+z & \\ x^{2}+y^{2}=z^{2} & \end{matrix}\right.$

 

 

3/

 

a/

 

$\left\{\begin{matrix} x+y=xy+z & \\ x^{2}+y^{2}=z^{2} & \end{matrix}\right.$ 

 

Từ (1) \Rightarrow xy = x + y - z.

 

Từ (2) \Rightarrow $(x+y)^2-2xy=z^2$

 

Thay xy vào ta có $(x+y)^2-2(x + y - z)=z^2$ \Leftrightarrow $(x+y-1)^2=(z-1)^2$

 

Đến đây xét 2 T.h là đc.

 

Hướng này mọi người cho xin cái ý kiến

[HungNT]

 

3/

 

a/

 

$\left\{\begin{matrix} x+y=xy+z & \\ x^{2}+y^{2}=z^{2} & \end{matrix}\right.$ 

 

Từ (1) \Rightarrow xy = x + y - z.

 

Từ (2) \Rightarrow $(x+y)^2-2xy=z^2$

 

Thay xy vào ta có $(x+y)^2-2(x + y - z)=z^2$ \Leftrightarrow $(x+y-1)^2=(z-1)^2$

 

Đến đây xét 2 T.h là đc.

 

Hướng này mọi người cho xin cái ý kiến

 

K đc bạn ơi

*TH1$x+y-1=1-z\rightarrow x+y+z=2\rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z=2\\ x^{2}+y^{2}=z^{2} \end{matrix}\right.$

Đến đây biến đổi lòng vòng một hồi cũng ra lại PT ban đầu 

*TH2 $x+y-1= z-1\rightarrow x+y=z\rightarrow \left ( x+y \right )^{2}=z^{2}\rightarrow x^{2}+y^{2}+2xy=z^{2}\rightarrow 2xy=0$

$\rightarrow$ x=0 hoặc y=0 trái GT

Mà HPT vẫn có nghiệm $\left ( x;y;z \right )=\left ( 3;4;-5 \right )$     

[I Love MC]

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                         KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH

       Hà Tĩnh                                                          NĂM HỌC 2014-2015

                                                                Môn thi : TOÁN ( Chung cho mọi học sinh)

                                                                                            Thời gian làm bài: 120 phút 

 

 

Câu 1. Cho $P=(\frac{-x}{\sqrt{x}(x-9)}+\frac{2}{\sqrt{x}-3}-\frac{1}{\sqrt{x}+3}): (\sqrt{x}+3 - \frac{x}{\sqrt{x}-3})$  , với $x> 0, x\neq 9$ .

              a) Rút gọn biểu thức P.

              b) Tìm giá trị của $x$ sao cho $P= \frac{-1}{4}$

Câu 2. Cho phương trình $x^{2}-2(m-2)x+m^{2}-2m+2=0$ ($m$ là tham số )

              a) Giải phương trình khi $m=-1$

              b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn: $\left | 2(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2} \right |=3$ .

Câu 3.  a) Giải phương trình  $\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1}=-1$

             b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} xy^{2}+2y^{2}-2=x^{2}+3x & & \\ x+y=3\sqrt{y-1} & & \end{matrix}\right.$

Câu 4.  Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ , có $\widehat{BAC}=45^{\circ}$ , $BC=a$ . 

             Gọi $E,F$ tương ứng là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống $AC$ , từ $C$ xuống $AB$ . Gọi $I$ là điểm đối xứng của $O$ qua $EF$ .

               a) Chứng minh $BFOC,AEIF$ là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

               b) Tính $EF$ theo $a$ .

Câu 5. Biết phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ có nghiệm .

            Chứng minh $a^{2}+b^{2}\geqslant \frac{4}{5}$ .

    -HẾT-

 

Thí sinh không sử dụng tài liệu 

Giám thị không giải thích gì thêm .

Hết 

 

 Cho phương trình $x^{2}-2(m-2)x+m^{2}-2m+2=0$ ($m$ là tham số )

              a) Giải phương trình khi $m=-1$ 
Trình còn yếu  
$x^2+6x+1+2+2=0 \leftrightarrow (x+3)^2=4 \leftrightarrow x \in {-5;-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 15-06-2014 - 20:51

[A4 Productions]

 

Câu 3.  a) Giải phương trình  $\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1}=-1$

đang rảnh chém phát câu like

ĐK:  $x \geqslant  - 1$.

 

$\sqrt {2x + 3}  - 2\sqrt {x + 1}  =  - 1$.

 

$ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 3}  - 3 - 2\sqrt {x + 1}  - 4 + 8 = 0$.

 

$ \Leftrightarrow \frac{{2(x - 3)}}{{\sqrt {2x + 3}  + 3}} - \frac{{4(x - 3)}}{{2\sqrt {x + 1}  + 4}} + 8 = 0$.

 

$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt {2x + 3}  + 3}} - \frac{4}{{2\sqrt {x + 1}  + 4}} + 8} \right) = 0$.

 

$ \Leftrightarrow x = 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sonesod: 16-06-2014 - 10:39