Chủ đề này có 4 trả lời

[Hanhsu]

Chứng minh vành các số nguyên mod n là 1 trường khi và chỉ khi n là nguyên tố

[Nxb]

Chứng minh vành các số nguyên mod n là 1 trường khi và chỉ khi n là nguyên tố

Đây là điều kiện cần và đủ để một vành hữu hạn là một trường, bạn có thể tham khảo các sách về đại số tuyến tính. Những cái như thế này bạn nên hạn chế post lên không mà nên hỏi thẳng ra vấn đề của bạn là gì, không thì người ta không chú ý đến đâu vì nhiều người đều biết rồi.

[Hanhsu]

Đây là điều kiện cần và đủ để một vành hữu hạn là một trường, bạn có thể tham khảo các sách về đại số tuyến tính. Những cái như thế này bạn nên hạn chế post lên không mà nên hỏi thẳng ra vấn đề của bạn là gì, không thì người ta không chú ý đến đâu vì nhiều người đều biết rồi.

E muốn hỏi cách chứng minh bài này mà

[nnb]

Đây là một cách chứng minh cho định lý này:
Giả sử n không phải là số nguyên tố => n là hợp số => Z/n có ước của 0, do đó nó không là một trường. 
Giả sử n=p là số nguyên tố. Trong Z/p các phần tử có dạng [q], với 0< q< p. Khi đó p,q nguyên tố cùng nhau => tồn tại các số nguyên k,l sao cho kp + lq = 1.
Tức là [l][q] = [1] - [kp] = [1] trong Z/p. Điều này có nghĩa là [q] khả nghịch và [q]^-1 = [l].
 

[Tran Cong Minh]

            Giả sử n là số nguyên tố, và giả sử $\bar{m}\in$ Zn; $\bar{m} \neq 0$. Khi đó m không chia hết cho n nên (m, n) = 1, do đó tồn tại u, v ΠZ sao cho mu + nv = 1. Suy ra $\bar{m}.\bar{u} + \bar{n}.\bar{v} = \bar{1}$ hay $\bar{m}.\bar{u} = \bar{1}$ (do $\bar{n} = \bar{0}$. Vậy phần tử $\bar{m}$ khả nghịch nên Zn là một trường.

            Giả sử n không là số nguyên tố, khi đó n = n1.n2, 1 < n1, n2 < n, và ta có $\bar{n1}.\bar{n2} = \bar{n1.n2} = \bar{n} = \bar{0}$ và $\bar{n1}, \bar{n2} \neq \bar{0}$. Vậy Zn có chứa ước của không nên không là trường.