Chủ đề này có 6 trả lời

[Cao thu]

1) Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Chứng minh:
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{9}{x+y+z}$
2) Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^{2}+b^2+c^2$
3)Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{1}{1+2xy}+\frac{1}{1+2yz}+\frac{1}{1+2zx}\geq 1$. Chứng minh:
$x+y+z\geq 3xyz$
4)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Chứng minh:
$a^2b+b^2c+c^2a\leq 2+abc$

5)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x\leq y\leq z$ và $x+y+z= \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$. Chứng minh:

$ab^2c^3\leq 1$

6)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh:

$x^2y+y^2z+z^2x\geq xy+yz+zx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao thu: 18-06-2014 - 20:33

[megamewtwo]

6) 

Đặt : $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ac}+\frac{c^{2}}{ab}\geq \frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$

Mà $\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b}{c}\geq 2\frac{a}{c}$

cộng vào ....    

[hoctrocuanewton]

 

6)Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh:

$x^2y+y^2z+z^2x\geq xy+yz+zx$

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$x^{2}y+x^{2}y+y^{2}z\geqslant 3\sqrt[3]{x^{4}y^{4}z}= 3\sqrt[3]{x^{3}y^{3}}=3xy$

Chứng minh tương tự ta có :

$3\sum x^{2}y\geqslant 3\sum xy\Rightarrow \sum x^{2}y\geqslant \sum xy$

Vậy ta được đpcm

[lahantaithe99]

3)Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{1}{1+2xy}+\frac{1}{1+2yz}+\frac{1}{1+2zx}\geq 1$. Chứng minh:
$x+y+z\geq 3xyz$
 

 

 

Áp dụng BĐT S.Vac

 

$1\leqslant \sum \frac{1}{1+2xy}\leqslant \frac{1}{9}\sum (1+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy})\Rightarrow \sum \frac{1}{xy}\geqslant 3$

 

$\Rightarrow x+y+z\geqslant 3xyz$

 

Dấu $=$ khi $x=y=z=1$

[NMDuc98]

Bài 2: 

Áp dụng BĐT quen thuộc $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$,ta có :

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \ge \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{(a+b+c)^2}{abc(a+b+c)}$

$\Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{abc(a+b+c)}~~~~~~(1)$

Mặt khác,áp dụng BĐT $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$, ta có :

$(ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c) \Rightarrow abc(a+b+c) \le \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}~~~~~(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \ge \frac{3(a+b+c)^2}{(ab+bc+ca)^2}~~~~~~(3)$

Áp dụng BĐT AM-GM ta lại có:$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca\ge 3.\sqrt[3]{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}$

$\Rightarrow (a+b+c)^6 \ge 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2$

$\Rightarrow 3^4.(a+b+c)^2 \ge 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2$  (Do $a+b+c=3$)

$\Rightarrow 3(a+b+c)^2\ge (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2~~~~(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ ta suy ra:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \ge a^2+b^2+c^2$ 

Dấu $ = $ xảy ra khi $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 18-06-2014 - 21:48

[Cao thu]

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}= \frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{zy}+\frac{z^2}{xz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}$

Như vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 $(x+y+z)^{3}\geq 9(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow ((x+y+z)^2)^{\frac{3}{2}}\geq 9(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx))^{\frac{3}{2}}\geq 9(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (3+2(xy+yz+zx))^{\frac{3}{2}}\geq 9(xy+yz+zx)$

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$(3+xy+yz+zx+xy+zy+zx)^{\frac{3}{2}}\geq (3\sqrt[3]{3(xy+yz+zx)^{2}})^{\frac{3}{2}}= 9(xy+yz+zx)$

Dễ dàng có ngay điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao thu: 19-06-2014 - 19:47

[KietLW9]

2) Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^{2}+b^2+c^2$

Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$

Ta cần chứng minh: $\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2=9$

Lại có: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{abc}$

$\Rightarrow \frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{abc}+6\sqrt{abc}=\frac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\geq 9$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1