Cho các số dương a,b,c biết: $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\leq 1$. Chứng minh rằng $abc\leq \frac{1}{8}$
Cho các số dương a,b,c biết: $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\leq 1$. Chứng minh rằng $abc\leq \frac{1}{8}$
#1
Đã gửi 19-06-2014 - 19:30
#2
Đã gửi 19-06-2014 - 19:50
Cho các số dương a,b,c biết: $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\leq 1$. Chứng minh rằng $abc\leq \frac{1}{8}$
Ta có: $\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq 1-\frac{a}{a+1}= \frac{1}{a+1}$
$\Rightarrow \frac{1}{a+1}\geq \frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$ $(1)$
Tương tự
$\frac{1}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ca}{(c+1)(a+1)}}$ $(2)$
$\frac{1}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}$ $(3)$
Nhân $(1);(2);(3)$ với nhau
$\Rightarrow \frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 8.\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}$
$\Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{8}$
- pham anh quan, dinhminhha, datcoi961999 và 6 người khác yêu thích
Issac Newton
#3
Đã gửi 19-06-2014 - 20:48
mọi người giúp bài này nữa luôn ạ
Cho 3 số thực dương a,b,c Chứng minh:
a, $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
b, $\frac{a}{bc(c+a)}+\frac{b}{ca(a+b)}+\frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)}$
- Viet Hoang 99 yêu thích
#4
Đã gửi 19-06-2014 - 21:00
mọi người giúp bài này nữa luôn ạ
Cho 3 số thực dương a,b,c Chứng minh:
a, $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
b, $\frac{a}{bc(c+a)}+\frac{b}{ca(a+b)}+\frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)}$
$a/$
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow \left ( a+b+b+c+c+a \right )\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 9$
Luôn đúng theo BĐT quen thuộc: $\left (x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9$
P/s: Đây là BĐT Nesbit!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-06-2014 - 21:01
- megamewtwo yêu thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#5
Đã gửi 19-06-2014 - 21:06
mọi người giúp bài này nữa luôn ạ
Cho 3 số thực dương a,b,c Chứng minh:
a, $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
b, $\frac{a}{bc(c+a)}+\frac{b}{ca(a+b)}+\frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)}$
$b/$
Mình nghĩ đề bài là: $\frac{a}{bc(c+a)}+\frac{b}{ca(a+b)}+\frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2}$
$\sum \frac{a}{bc(c+a)}=\sum \frac{a^2}{abc(c+a)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2abc(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2abc}$
Cần CM: $\frac{a+b+c}{2abc}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2}\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 27abc$
Luôn đúng do $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$
- datcoi961999 và megamewtwo thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh