Đến nội dung

Hình ảnh

Cho các số dương a,b,c biết: $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\leq 1$. Chứng minh rằng $abc\leq \frac{1}{8}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
congchuasaobang

congchuasaobang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết

Cho các số dương a,b,c biết: $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\leq 1$. Chứng minh rằng $abc\leq \frac{1}{8}$



#2
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho các số dương a,b,c biết: $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\leq 1$. Chứng minh rằng $abc\leq \frac{1}{8}$

Ta có: $\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq 1-\frac{a}{a+1}= \frac{1}{a+1}$

$\Rightarrow \frac{1}{a+1}\geq \frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$    $(1)$

Tương tự 

$\frac{1}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ca}{(c+1)(a+1)}}$    $(2)$

$\frac{1}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}$    $(3)$

Nhân $(1);(2);(3)$ với nhau

$\Rightarrow \frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 8.\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

$\Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{8}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#3
congchuasaobang

congchuasaobang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết

mọi người giúp bài này nữa luôn ạ 

   Cho 3 số thực dương a,b,c Chứng minh:

a, $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

b, $\frac{a}{bc(c+a)}+\frac{b}{ca(a+b)}+\frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)}$



#4
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

mọi người giúp bài này nữa luôn ạ 

   Cho 3 số thực dương a,b,c Chứng minh:

a, $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

b, $\frac{a}{bc(c+a)}+\frac{b}{ca(a+b)}+\frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)}$

$a/$
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow \left ( a+b+b+c+c+a \right )\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 9$ 

Luôn đúng theo BĐT quen thuộc: $\left (x+y+z  \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9$

 

P/s: Đây là BĐT Nesbit!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-06-2014 - 21:01


#5
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

mọi người giúp bài này nữa luôn ạ 

   Cho 3 số thực dương a,b,c Chứng minh:

a, $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

b, $\frac{a}{bc(c+a)}+\frac{b}{ca(a+b)}+\frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)}$

$b/$

Mình nghĩ đề bài là: $\frac{a}{bc(c+a)}+\frac{b}{ca(a+b)}+\frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2}$

$\sum \frac{a}{bc(c+a)}=\sum \frac{a^2}{abc(c+a)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2abc(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2abc}$

Cần CM: $\frac{a+b+c}{2abc}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2}\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 27abc$

Luôn đúng do $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$
 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh