Đến nội dung


Hình ảnh

$P_1(x)=4x^{3}-3x;P_n(x)=P_1(P_{n-1}(x)) \forall n \geq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 tretho97

tretho97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Đã gửi 22-06-2014 - 13:43

xét dãy đa thức $P_1(x)=4x^{3}-3x;P_n(x)=P_1(P_{n-1}(x)) \forall n \geq 2$.

chứng minh $P_n(x)=x$ có đúng $3^{n}$ nghiệm thực phân biệt $\forall n \in \mathbb N *$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tretho97: 22-06-2014 - 13:44


#2 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 01-10-2017 - 01:04

$x = cos a \implies P_n(x) = cos (3^n.a) $ . Xét phương trình $cos(3^nx) = cos x $ , phương trình này có $3^n$ nghiệm $ a = \frac{k \pi}{3^n+1} , k = \overline{0 , 3^n-1}$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 01-10-2017 - 22:25


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1960 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 01-10-2017 - 11:05

xét dãy đa thức $P_1(x)=4x^{3}-3x;P_n(x)=P_1(P_{n-1}(x)) \forall n \geq 2$.

chứng minh $P_n(x)=x$ có đúng $3^{n}$ nghiệm thực phân biệt $\forall n \in \mathbb N *$

 

$x = sin a \implies P_n(x) = sin (3^n.a) $ . Xét phương trình $sin(3^nx) = sin x $ , phương trình này có $3^n$ nghiệm $ a = \frac{k \pi}{3^n+1} , k = \overline{0 , 3^n-1}$ 

Có 2 vấn đề cần làm rõ :

1) Dựa vào đâu để khẳng định $\left | x \right |\leqslant 1$, từ đó đặt $x=\sin a$ ?

2) Nói phương trình $\sin(3^nx)=\sin x$ có $3^n$ nghiệm, liệu có chuẩn không ?

 

Mình xin giải quyết 2 vấn đề trên như sau :

Trước tiên ta chứng minh bằng quy nạp rằng $P_n(x)> x,\forall x> 1$

  + Ta có $4x^3> 4x,\forall x> 1\Rightarrow P_1(x)=4x^3-3x> x,\forall x> 1$

  + Giả sử với $m\in\mathbb{N},m\geqslant 1$, ta có $P_m(x)> x,\forall x> 1$

     Khi đó ta có $4[P_m(x)]^2> 4P_m(x)\Rightarrow P_{m+1}(x)=4[P_m(x)]^2-3P_m(x)> P_m(x)> x,\forall x> 1$

  + Theo nguyên lý quy nạp, ta có $P_n(x)> x,\forall x> 1$

Cũng bằng quy nạp tương tự, ta chứng minh được $P_n(x)< x,\forall x< -1$

Vậy nếu phương trình $P_n(x)=x$ (*) có nghiệm thì nghiệm đó phải thuộc $[-1;1]$. Do đó ta đặt $x=\cos t$

 

Khi $n=1$, (*) trở thành $\cos(3t)=\cos t$

Khi $n=2$, (*) trở thành $\cos(9t)=\cos t$

...........................................

Trường hợp tổng quát, (*) trở thành $\cos(3^nt)=\cos t$ (**)

(**) có VÔ SỐ NGHIỆM. Đó là các nghiệm dạng $t=k.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}}$ (1) hoặc $t=k.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}}$ (2) ($k\in\mathbb{Z}$)

Nhận xét rằng số nghiệm thực phân biệt của (*) cũng chính là số giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn phương trình (**)

Ta gọi $S_1,S_2$ lần lượt là tập hợp các giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn (1), (2).

$S_1=\left \{ \cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}}\right );\cos\left ( 1.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right );...;\cos\left [ \left ( \frac{3^n+1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right ] \right \}$ (có $\frac{3^n+3}{2}$ giá trị phân biệt)

$S_2=\left \{ \cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}}\right );\cos\left ( 1.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right );...;\cos\left [ \left ( \frac{3^n-1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right ] \right \}$ (có $\frac{3^n+1}{2}$ giá trị phân biệt)

Chú ý rằng $\frac{3^n+1}{2}$ và $\frac{3^n-1}{2}$ là 2 số nguyên tố cùng nhau nên $S_1$ và $S_2$ chỉ có $2$ phần tử chung là

$\cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right )=\cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right )=1$

và $\cos\left [ \left ( \frac{3^n+1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right ]=\cos\left [ \left ( \frac{3^n-1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right ]=-1$

Vậy số nghiệm thực phân biệt của (*) cũng chính là số giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn (**) và bằng :

$|S_1|+|S_2|-|S_1\cap S_2|=\frac{3^n+3}{2}+\frac{3^n+1}{2}-2=3^n$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-10-2017 - 15:37

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:furry

Đã gửi 01-10-2017 - 17:51

Mình xin giải quyết 2 vấn đề trên như sau :

Trước tiên ta chứng minh bằng quy nạp rằng $P_n(x)> x,\forall x> 1$

  + Ta có $4x^3> 4x,\forall x> 1\Rightarrow P_1(x)=4x^3-3x> x,\forall x> 1$

  + Giả sử với $m\in\mathbb{N},m\geqslant 1$, ta có $P_m(x)> x,\forall x> 1$

     Khi đó ta có $4[P_m(x)]^2> 4P_m(x)\Rightarrow P_{m+1}(x)=4[P_m(x)]^2-3P_m(x)> P_m(x)> x,\forall x> 1$

  + Theo nguyên lý quy nạp, ta có $P_n(x)> x,\forall x> 1$

Cũng bằng quy nạp tương tự, ta chứng minh được $P_n(x)< x,\forall x< -1$

Vậy nếu phương trình $P_n(x)=x$ (*) có nghiệm thì nghiệm đó phải thuộc $[-1;1]$. Do đó ta đặt $x=\cos t$

Thực ra chỉ cần chỉ ra $3^n$ nghiệm phân biệt của $P_n(x)$ vì rõ ràng $degP_n(x)=3^n$



#5 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 01-10-2017 - 22:22

không phải đặt $x = cos a$ , mà là thay $x $ bởi $cos a$ ạ , và mình chỉ ra được phương trình đó có $3^n$ nghiệm 

tức là chỉ ra luôn $P_n(cos a) = cos _a$ có $3^n$ nghiệm , thế thì tất nhiên $P_n(x) = x$ có ít nhất $3^n$ nghiệm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 01-10-2017 - 22:25


#6 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2017 - 20:22

Có 2 vấn đề cần làm rõ :

1) Dựa vào đâu để khẳng định $\left | x \right |\leqslant 1$, từ đó đặt $x=\sin a$ ?

2) Nói phương trình $\sin(3^nx)=\sin x$ có $3^n$ nghiệm, liệu có chuẩn không ?

 

Mình xin giải quyết 2 vấn đề trên như sau :

Trước tiên ta chứng minh bằng quy nạp rằng $P_n(x)> x,\forall x> 1$

  + Ta có $4x^3> 4x,\forall x> 1\Rightarrow P_1(x)=4x^3-3x> x,\forall x> 1$

  + Giả sử với $m\in\mathbb{N},m\geqslant 1$, ta có $P_m(x)> x,\forall x> 1$

     Khi đó ta có $4[P_m(x)]^2> 4P_m(x)\Rightarrow P_{m+1}(x)=4[P_m(x)]^2-3P_m(x)> P_m(x)> x,\forall x> 1$

  + Theo nguyên lý quy nạp, ta có $P_n(x)> x,\forall x> 1$

Cũng bằng quy nạp tương tự, ta chứng minh được $P_n(x)< x,\forall x< -1$

Vậy nếu phương trình $P_n(x)=x$ (*) có nghiệm thì nghiệm đó phải thuộc $[-1;1]$. Do đó ta đặt $x=\cos t$

 

Khi $n=1$, (*) trở thành $\cos(3t)=\cos t$

Khi $n=2$, (*) trở thành $\cos(9t)=\cos t$

...........................................

Trường hợp tổng quát, (*) trở thành $\cos(3^nt)=\cos t$ (**)

(**) có VÔ SỐ NGHIỆM. Đó là các nghiệm dạng $t=k.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}}$ (1) hoặc $t=k.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}}$ (2) ($k\in\mathbb{Z}$)

Nhận xét rằng số nghiệm thực phân biệt của (*) cũng chính là số giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn phương trình (**)

Ta gọi $S_1,S_2$ lần lượt là tập hợp các giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn (1), (2).

$S_1=\left \{ \cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}}\right );\cos\left ( 1.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right );...;\cos\left [ \left ( \frac{3^n+1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right ] \right \}$ (có $\frac{3^n+3}{2}$ giá trị phân biệt)

$S_2=\left \{ \cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}}\right );\cos\left ( 1.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right );...;\cos\left [ \left ( \frac{3^n-1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right ] \right \}$ (có $\frac{3^n+1}{2}$ giá trị phân biệt)

Chú ý rằng $\frac{3^n+1}{2}$ và $\frac{3^n-1}{2}$ là 2 số nguyên tố cùng nhau nên $S_1$ và $S_2$ chỉ có $2$ phần tử chung là

$\cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right )=\cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right )=1$

và $\cos\left [ \left ( \frac{3^n+1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right ]=\cos\left [ \left ( \frac{3^n-1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right ]=-1$

Vậy số nghiệm thực phân biệt của (*) cũng chính là số giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn (**) và bằng :

$|S_1|+|S_2|-|S_1\cap S_2|=\frac{3^n+3}{2}+\frac{3^n+1}{2}-2=3^n$.

Bạn làm đúng rồi, +10 điểm PSW cho bạn.

 

Còn manhtuan00, 

 

$x = cos a \implies P_n(x) = cos (3^n.a) $ . Xét phương trình $cos(3^nx) = cos x $ , phương trình này có $3^n$ nghiệm $ a = \frac{k \pi}{3^n+1} , k = \overline{0 , 3^n-1}$ 

 

 

bạn thử tự kiểm tra rằng $a = \dfrac{\pi}{4}= \dfrac{\pi}{3^1 +1}$ có phải là nghiệm của $\cos (3x) = \cos(x)$ không?


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh