xét dãy đa thức $P_1(x)=4x^{3}-3x;P_n(x)=P_1(P_{n-1}(x)) \forall n \geq 2$.
chứng minh $P_n(x)=x$ có đúng $3^{n}$ nghiệm thực phân biệt $\forall n \in \mathbb N *$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tretho97: 22-06-2014 - 13:44
xét dãy đa thức $P_1(x)=4x^{3}-3x;P_n(x)=P_1(P_{n-1}(x)) \forall n \geq 2$.
chứng minh $P_n(x)=x$ có đúng $3^{n}$ nghiệm thực phân biệt $\forall n \in \mathbb N *$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tretho97: 22-06-2014 - 13:44
$x = cos a \implies P_n(x) = cos (3^n.a) $ . Xét phương trình $cos(3^nx) = cos x $ , phương trình này có $3^n$ nghiệm $ a = \frac{k \pi}{3^n+1} , k = \overline{0 , 3^n-1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 01-10-2017 - 22:25
xét dãy đa thức $P_1(x)=4x^{3}-3x;P_n(x)=P_1(P_{n-1}(x)) \forall n \geq 2$.
chứng minh $P_n(x)=x$ có đúng $3^{n}$ nghiệm thực phân biệt $\forall n \in \mathbb N *$
$x = sin a \implies P_n(x) = sin (3^n.a) $ . Xét phương trình $sin(3^nx) = sin x $ , phương trình này có $3^n$ nghiệm $ a = \frac{k \pi}{3^n+1} , k = \overline{0 , 3^n-1}$
Có 2 vấn đề cần làm rõ :
1) Dựa vào đâu để khẳng định $\left | x \right |\leqslant 1$, từ đó đặt $x=\sin a$ ?
2) Nói phương trình $\sin(3^nx)=\sin x$ có $3^n$ nghiệm, liệu có chuẩn không ?
Mình xin giải quyết 2 vấn đề trên như sau :
Trước tiên ta chứng minh bằng quy nạp rằng $P_n(x)> x,\forall x> 1$
+ Ta có $4x^3> 4x,\forall x> 1\Rightarrow P_1(x)=4x^3-3x> x,\forall x> 1$
+ Giả sử với $m\in\mathbb{N},m\geqslant 1$, ta có $P_m(x)> x,\forall x> 1$
Khi đó ta có $4[P_m(x)]^2> 4P_m(x)\Rightarrow P_{m+1}(x)=4[P_m(x)]^2-3P_m(x)> P_m(x)> x,\forall x> 1$
+ Theo nguyên lý quy nạp, ta có $P_n(x)> x,\forall x> 1$
Cũng bằng quy nạp tương tự, ta chứng minh được $P_n(x)< x,\forall x< -1$
Vậy nếu phương trình $P_n(x)=x$ (*) có nghiệm thì nghiệm đó phải thuộc $[-1;1]$. Do đó ta đặt $x=\cos t$
Khi $n=1$, (*) trở thành $\cos(3t)=\cos t$
Khi $n=2$, (*) trở thành $\cos(9t)=\cos t$
...........................................
Trường hợp tổng quát, (*) trở thành $\cos(3^nt)=\cos t$ (**)
(**) có VÔ SỐ NGHIỆM. Đó là các nghiệm dạng $t=k.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}}$ (1) hoặc $t=k.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}}$ (2) ($k\in\mathbb{Z}$)
Nhận xét rằng số nghiệm thực phân biệt của (*) cũng chính là số giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn phương trình (**)
Ta gọi $S_1,S_2$ lần lượt là tập hợp các giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn (1), (2).
$S_1=\left \{ \cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}}\right );\cos\left ( 1.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right );...;\cos\left [ \left ( \frac{3^n+1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right ] \right \}$ (có $\frac{3^n+3}{2}$ giá trị phân biệt)
$S_2=\left \{ \cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}}\right );\cos\left ( 1.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right );...;\cos\left [ \left ( \frac{3^n-1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right ] \right \}$ (có $\frac{3^n+1}{2}$ giá trị phân biệt)
Chú ý rằng $\frac{3^n+1}{2}$ và $\frac{3^n-1}{2}$ là 2 số nguyên tố cùng nhau nên $S_1$ và $S_2$ chỉ có $2$ phần tử chung là
$\cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right )=\cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right )=1$
và $\cos\left [ \left ( \frac{3^n+1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right ]=\cos\left [ \left ( \frac{3^n-1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right ]=-1$
Vậy số nghiệm thực phân biệt của (*) cũng chính là số giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn (**) và bằng :
$|S_1|+|S_2|-|S_1\cap S_2|=\frac{3^n+3}{2}+\frac{3^n+1}{2}-2=3^n$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-10-2017 - 15:37
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Mình xin giải quyết 2 vấn đề trên như sau :Trước tiên ta chứng minh bằng quy nạp rằng $P_n(x)> x,\forall x> 1$
+ Ta có $4x^3> 4x,\forall x> 1\Rightarrow P_1(x)=4x^3-3x> x,\forall x> 1$
+ Giả sử với $m\in\mathbb{N},m\geqslant 1$, ta có $P_m(x)> x,\forall x> 1$
Khi đó ta có $4[P_m(x)]^2> 4P_m(x)\Rightarrow P_{m+1}(x)=4[P_m(x)]^2-3P_m(x)> P_m(x)> x,\forall x> 1$
+ Theo nguyên lý quy nạp, ta có $P_n(x)> x,\forall x> 1$
Cũng bằng quy nạp tương tự, ta chứng minh được $P_n(x)< x,\forall x< -1$
Vậy nếu phương trình $P_n(x)=x$ (*) có nghiệm thì nghiệm đó phải thuộc $[-1;1]$. Do đó ta đặt $x=\cos t$
Thực ra chỉ cần chỉ ra $3^n$ nghiệm phân biệt của $P_n(x)$ vì rõ ràng $degP_n(x)=3^n$
For the love of Canidae
không phải đặt $x = cos a$ , mà là thay $x $ bởi $cos a$ ạ , và mình chỉ ra được phương trình đó có $3^n$ nghiệm
tức là chỉ ra luôn $P_n(cos a) = cos _a$ có $3^n$ nghiệm , thế thì tất nhiên $P_n(x) = x$ có ít nhất $3^n$ nghiệm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 01-10-2017 - 22:25
Có 2 vấn đề cần làm rõ :
1) Dựa vào đâu để khẳng định $\left | x \right |\leqslant 1$, từ đó đặt $x=\sin a$ ?
2) Nói phương trình $\sin(3^nx)=\sin x$ có $3^n$ nghiệm, liệu có chuẩn không ?
Mình xin giải quyết 2 vấn đề trên như sau :
Trước tiên ta chứng minh bằng quy nạp rằng $P_n(x)> x,\forall x> 1$
+ Ta có $4x^3> 4x,\forall x> 1\Rightarrow P_1(x)=4x^3-3x> x,\forall x> 1$
+ Giả sử với $m\in\mathbb{N},m\geqslant 1$, ta có $P_m(x)> x,\forall x> 1$
Khi đó ta có $4[P_m(x)]^2> 4P_m(x)\Rightarrow P_{m+1}(x)=4[P_m(x)]^2-3P_m(x)> P_m(x)> x,\forall x> 1$
+ Theo nguyên lý quy nạp, ta có $P_n(x)> x,\forall x> 1$
Cũng bằng quy nạp tương tự, ta chứng minh được $P_n(x)< x,\forall x< -1$
Vậy nếu phương trình $P_n(x)=x$ (*) có nghiệm thì nghiệm đó phải thuộc $[-1;1]$. Do đó ta đặt $x=\cos t$
Khi $n=1$, (*) trở thành $\cos(3t)=\cos t$
Khi $n=2$, (*) trở thành $\cos(9t)=\cos t$
...........................................
Trường hợp tổng quát, (*) trở thành $\cos(3^nt)=\cos t$ (**)
(**) có VÔ SỐ NGHIỆM. Đó là các nghiệm dạng $t=k.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}}$ (1) hoặc $t=k.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}}$ (2) ($k\in\mathbb{Z}$)
Nhận xét rằng số nghiệm thực phân biệt của (*) cũng chính là số giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn phương trình (**)
Ta gọi $S_1,S_2$ lần lượt là tập hợp các giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn (1), (2).
$S_1=\left \{ \cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}}\right );\cos\left ( 1.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right );...;\cos\left [ \left ( \frac{3^n+1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right ] \right \}$ (có $\frac{3^n+3}{2}$ giá trị phân biệt)
$S_2=\left \{ \cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}}\right );\cos\left ( 1.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right );...;\cos\left [ \left ( \frac{3^n-1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right ] \right \}$ (có $\frac{3^n+1}{2}$ giá trị phân biệt)
Chú ý rằng $\frac{3^n+1}{2}$ và $\frac{3^n-1}{2}$ là 2 số nguyên tố cùng nhau nên $S_1$ và $S_2$ chỉ có $2$ phần tử chung là
$\cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right )=\cos\left ( 0.\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right )=1$
và $\cos\left [ \left ( \frac{3^n+1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n+1}{2}} \right ]=\cos\left [ \left ( \frac{3^n-1}{2} \right ).\frac{\pi}{\frac{3^n-1}{2}} \right ]=-1$
Vậy số nghiệm thực phân biệt của (*) cũng chính là số giá trị phân biệt của $\cos t$ thỏa mãn (**) và bằng :
$|S_1|+|S_2|-|S_1\cap S_2|=\frac{3^n+3}{2}+\frac{3^n+1}{2}-2=3^n$.
Bạn làm đúng rồi, +10 điểm PSW cho bạn.
Còn manhtuan00,
$x = cos a \implies P_n(x) = cos (3^n.a) $ . Xét phương trình $cos(3^nx) = cos x $ , phương trình này có $3^n$ nghiệm $ a = \frac{k \pi}{3^n+1} , k = \overline{0 , 3^n-1}$
bạn thử tự kiểm tra rằng $a = \dfrac{\pi}{4}= \dfrac{\pi}{3^1 +1}$ có phải là nghiệm của $\cos (3x) = \cos(x)$ không?
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh