Đến nội dung


Hình ảnh

$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq 13$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 17 trả lời

#1 HoangHungChelski

HoangHungChelski

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 283 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương
  • Sở thích:$\mathfrak{Combinatorics}$ , $\mathfrak{NumberTheory}$

Đã gửi 24-06-2014 - 17:30

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$. 
Chứng minh rằng: 

$$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq 13$$


$$\boxed{\text{When is (xy+1)(yz+1)(zx+1) a Square?}}$$                                


#2 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 06-07-2015 - 20:25

Bài này dấu = xảy ra thực sự rất khó đoán



#3 Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{THPT}}$ $ \boxed{\textrm{Chuyên Quốc Học}} $
  • Sở thích:$\star\textrm{Tìm hiểu}\star$
    $\textrm{Văn hóa Nhật Bổn}$

Đã gửi 06-07-2015 - 20:31

Bài này dấu = xảy ra thực sự rất khó đoán

Bài này không tồn tại dấu $"="$ đâu a!  :wacko: 



#4 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 06-07-2015 - 20:32

Bài này không tồn tại dấu $"="$ đâu a!  :wacko: 

Vậy à ,thảo nào tìm mãi ko ra ,mà e đã có ý tưởng bài này chưa



#5 Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{THPT}}$ $ \boxed{\textrm{Chuyên Quốc Học}} $
  • Sở thích:$\star\textrm{Tìm hiểu}\star$
    $\textrm{Văn hóa Nhật Bổn}$

Đã gửi 06-07-2015 - 20:42

Vậy à ,thảo nào tìm mãi ko ra ,mà e đã có ý tưởng bài này chưa

Em nghĩ là với $a,b,c$ dương thì biểu thức chỉ đạt MAX là 8 thôi 



#6 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 06-07-2015 - 20:45

Em nghĩ là với $a,b,c$ dương thì biểu thức chỉ đạt MAX là 8 thôi 

 Thế dấu =xảy ra khi nào



#7 diepviennhi

diepviennhi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 318 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-07-2015 - 20:49

 Thế dấu =xảy ra khi nào

Bất đẳng thức này thực sự chặt. cho 1 biến tiến ra biên và 2 biến chập lại nhau Vd $$a=0,b=c=1,5$$ sẽ thu được giá trị sát 13


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diepviennhi: 06-07-2015 - 20:50


#8 Nguyen Minh Hai

Nguyen Minh Hai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{THPT}}$ $ \boxed{\textrm{Chuyên Quốc Học}} $
  • Sở thích:$\star\textrm{Tìm hiểu}\star$
    $\textrm{Văn hóa Nhật Bổn}$

Đã gửi 06-07-2015 - 20:54

Đề là các số dương... nên MAX là 8 khi $a=b=c=1$

Ta thử chứng minh $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \leq 8$ xem sao  :wacko: 



#9 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 06-07-2015 - 21:00

Đề là các số dương... nên MAX là 8 khi $a=b=c=1$

Ta thử chứng minh $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \leq 8$ xem sao  :wacko: 

Cho $a=0$ là thấy bị sai rồi.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#10 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 06-07-2015 - 21:02

Đề là các số dương... nên MAX là 8 khi $a=b=c=1$

Ta thử chứng minh $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \leq 8$ xem sao  :wacko: 

Đề vốn là không âm tuy vậy cũng không có dấu bằng đâu em,biểu thức vế trái chỉ rất gần 13 khi 1 biến bằng không. Bài này anh nhớ là chứng minh bằng cách đồng bậc 2 vế và tương đương. Phân tích biểu thức tương đương đấy ra tổng bình phương và 1 thành phần dương. Thực sự là bài này khá chặt.


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#11 Nguyen Huy Hoang

Nguyen Huy Hoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\boxed{\rightarrow \bigstar ThuậnThành1 \bigstar \leftarrow}}$
  • Sở thích:Gái !

Đã gửi 06-07-2015 - 21:03

Đề là các số dương... nên MAX là 8 khi $a=b=c=1$

Ta thử chứng minh $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \leq 8$ xem sao  :wacko: 

Sao lại max là 8? Thử a=0.1, b=1, c=1.9 đã được hơn 10 rồi


BELIEVE THAT YOU WILL SUCCEED - AND YOU WILL !

"Tin rằng thành công - Bạn sẽ thành công!"  

-Dale Carnegie-


#12 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 07-07-2015 - 16:11

Giả sử ta đổi lại đề thành: Cho a+b+c=3. Tìm ước lượng tốt nhất P=$\prod (a+b^2)$(ở đề bài đã cho là chặn dưới 13 chưa chứng minh được)

$Đặt x=a+b^2;Đặt y=b+c^2;Đặt z=c+a^2$

Khi đó ta có x+y+z=$a^2+b^2+c^2+3$

Giả sử a$\geq b\geq c$>0

Khi đó x+y+z<22

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có P=xyz<$(\frac{22}{3})^3=\approx 394$

Vậy là ta đã hạ chặn xuống còn <$\approx$394.

Mong các bạn tiếp tục giảm ước lượng tốt hơn để bất đẳng thức đúng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 08-07-2015 - 14:56

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#13 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 07-07-2015 - 17:36

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$. 
Chứng minh rằng: 

$$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq 13$$

Mình nghi ngờ bài này không thể giải được bằng kiến thức THCS.Dưới đây mình sẽ giải bằng trình độ THPT.

Ta giải bài toán trong 2 TH :

A- $a,b,c$ là số dương.

B- $a,b,c$ là số không âm.

 

$A)$ $a,b,c> 0$

Đặt vế trái bất đẳng thức là $P$.Ta tìm các cực trị của $P$ trong miền :

$\left\{\begin{matrix}a+b+c=3\\a> 0\\b> 0\\c> 0 \end{matrix}\right.$

$P'_{a}=bc+c^3+3a^2(b+c^2)+2ab^2(b+c^2)> 0$ (vì $a,b,c> 0$)

Tương tự $P'_{b}> 0$ và $P'_{c}> 0$ $\Rightarrow$ không có cực trị $\Rightarrow$ không có GTLN.

 

$B)$ $a,b,c\geqslant 0$

Ta chỉ cần xét các giá trị biên (khi $a=3$ và $a=0$)

$1)$ $a=3\Rightarrow b=c=0$

   Khi đó $P=0$ (1)

$2)$ $a=0\Rightarrow b+c=3$

   Khi đó $P=b^2c(b+c^2)=b^3(3-b)+b^2(3-b)^3$

   $P'_{b}=-5b^4+32b^3-72b^2+54b$

   $P'_{b}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=0\\5b^3-32b^2+72b-54=0 \end{matrix}\right.$

   + $b=0\Rightarrow P=0$ (2)

   + $5b^3-32b^2+72b-54=0\Rightarrow b^3-\frac{32}{5}b^2+\frac{72}{5}b-\frac{54}{5}=0$ 

   Đặt $x=b-\frac{32}{15}\Rightarrow x^3+\frac{56}{75}\ x+\frac{1694}{3375}=0$ (3)

   Gọi $y$ là số dương sao cho $x=\frac{56}{225y}-y$ ($y> 0$)

   Thay vào (3) $\Rightarrow y^6-\frac{1694}{3375}\ y^3-\frac{175616}{3375^2}=0$

   $\Rightarrow y=\frac{\sqrt[3]{1792}}{15}\Rightarrow x=\frac{56-\sqrt[3]{1792^2}}{15\sqrt[3]{1792}}$

   $\Rightarrow b=\frac{57344+56\sqrt[3]{1792^2}-\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ (4)

   $\Rightarrow c=\frac{23296-56\sqrt[3]{1792^2}+\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ (5)

   Thay (4) và (5) vào $P=b^2c(b+c^2)$ ta được $P\approx 12,76495658$ (6)

 

   So sánh (1),(2) và (6), ta có GTLN của $P$ xấp xỉ $12,76495658$

  (xảy ra khi $a=0$ ; $b=\frac{57344+56\sqrt[3]{1792^2}-\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ ; $c=\frac{23296-56\sqrt[3]{1792^2}+\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ và các hoán vị vòng tròn)

 

Tóm lại :

+ Nếu $a,b,c> 0$ thì không có GTLN.

+ Nếu $a,b,c\geqslant 0$ thì GTLN của $P$ là xấp xỉ $12,76495658$ (không phải $13$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 07-07-2015 - 23:04

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#14 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 07-07-2015 - 18:36

Giả sử ta đổi lại đề thành: Cho a+b+c=3. Tìm ước lượng tốt nhất P=$\prod (a+b^2)$(ở đề bài đã cho là chặn dưới 13 chưa chứng minh được)

$Đặt x=a+b^2;Đặt y=b+c^2;Đặt z=c+a^2$

Khi đó ta có x+y+z=$a^2+b^2+c^2+3$

Giả sử a$\geq b\geq c$

Khi đó x+y+z<22

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có VT bất đẳng thức<$(\frac{22}{3})^3=\approx 394$

Vậy là ta đã hạ chặn xuống còn <$\approx$394.

Mong các bạn tiếp tục giảm ước lượng tốt hơn để bất đẳng thức đúng.

Vẫn với cách làm trên mình đã hạ chặn biểu thức xuống <64.

Thật vậy ta có x+y+z= $\left ( a+b+c \right )^2-2(ab+ca+bc)+3=12-2(ab+bc+ca)< 12$(do a,b,c>0)

Do đó theo bất đẳng thức AM-GM P<$(\frac{12}{3})^3=64$

Mong các bạn tiếp tục cho chặn nhỏ hơn để bài toán ban đầu được chứng minh

Đáng chú ý là theo cách giải của anh chanhquocchiem thì nếu a,b,c>0 thì bài toán ko có max do đó ta nên đổi nó thành tìm chặn trên tốt nhất cho biểu thức VT 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 08-07-2015 - 14:59

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#15 daotuanminh

daotuanminh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-07-2015 - 21:32

Cho $a=0$ là thấy bị sai rồi.

a,b,c là các số dương cơ mà.


Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.


#16 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 07-07-2015 - 23:28

 

 

 

 

   So sánh (1),(2) và (6), ta có GTLN của $P$ xấp xỉ $12,76495658$

  (xảy ra khi $a=0$ ; $b=\frac{57344+56\sqrt[3]{1792^2}-\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ ; $c=\frac{23296-56\sqrt[3]{1792^2}+\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ và các hoán vị vòng tròn)

 

 

Dựa trên tính toán của anh thì ta có thể làm chặt bài toán lên thành:

 

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

 

$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq \frac{121808+8309\sqrt[3]{28}-5936\sqrt[3]{98}}{9375}$

 

Với dấu bằng xảy ra khi $a=0,b=\frac{32-4\sqrt[3]{28}+\sqrt[3]{98}}{15},c=\frac{13+4\sqrt[3]{28}-\sqrt[3]{98}}{15}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 07-07-2015 - 23:31

Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#17 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 07-07-2015 - 23:35

Bài toán tương tự sau sẽ có dấu bằng tại những giá trị "đẹp" hơn:

 

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{2}$.Chứng minh rằng:

 

$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq \frac{5}{8}$

 

Spoiler


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#18 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 08-07-2015 - 14:53

Vậy là hình như bài toán đã giải được thì phải (mặc dù ko phải cách cấp THCS).

Nếu a,b,c>0 thì chặn trên nhỏ nhất của P là bao nhiêu??????


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh