Chủ đề này có 4 trả lời

[Zaraki]

Bài 1. Tìm các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $3p^4- 5q^4-4r^2=26$.

Bài 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ có diện tích $S$. Lấy $CD \perp AB \; (D \in AB), DM \perp AC$ và $DN \perp BC \; (N \in BC)$. Kí hiệu $H_1,H_2$ thứ tự là trực tam giác $MNC$ và $MND$. Tìm diện tích tứ giác $AH_1BH_2$ theo $S$.

Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh $\sum \left( a+ \frac 1b \right)^2 \ge 3(a+b+c+1)$.

Bài 4. Cho số nguyên dương $n$, hai người chơi $A$ và $B$ cùng chời một trò chơi nhặt tiền (theo bản gốc là đá nhưng mà cứ dịch tiền cho anh em máu): Có $s$ tờ 1 đôla hai người lần lượt nhặt tiền với $A$ nhặt trước. Mỗi lượt người chơi chỉ được lấy $1$ đôla, $p$ đô la ($p$ nguyên tố) hoặc số đôla là bội của $n$. Người thắng cuộc là người lấy đồng đôla cuối cùng. Hỏi có bao nhiều giá trị của $s$ để $A$ không thể thắng cuộc ?

[Yagami Raito]

 

Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh $\sum \left( a+ \frac 1b \right)^2 \ge 3(a+b+c+1)$.

 

Xem lời giải tại đây

[Trang Luong]

 

Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh $\sum \left( a+ \frac 1b \right)^2 \ge 3(a+b+c+1)$.

 

Áp dụng BĐT AM-GM

Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$, ta có BĐT tương đương là

 $\sum \left ( \frac{x+z}{y} \right )^2\geq 3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+1 \right )$

Ta có : $\sum \left ( \frac{x+z}{y} \right )^2=\frac{x^2+z^2}{y^2}+\frac{x^2+y^2}{z^2}+\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{2xz}{y^2}+\frac{2yz}{x^2}+\frac{2xy}{z^2}=\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2} \right )+\frac{1}{2}\left [ \left ( \frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2} \right )+\left ( \frac{z^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \right )+\left ( \frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2} \right ) \right ]+\frac{2xz}{y^2}+\frac{2yz}{x^2}+\frac{2xy}{z^2}\geq \left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2} \right )+\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )+6.\sqrt[3]{\frac{xyyzzx}{x^2y^2z^2}}=\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2} \right )+\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )+6\geq 3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )+3$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=1$

[Trang Luong]

Bài 1. Tìm các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $3p^4- 5q^4-4r^2=26$.

 

Ta thấy $5q^4\equiv 0(mod5)\Rightarrow 3p^4-4r^2\equiv 26\equiv 1(mod5)$

• Nếu $p,r$ không chia hết cho 5 thì $3p^4\equiv 3(mod5),4r^2\equiv 4;1(mod5)\Rightarrow 3p^4-4r^2\equiv -1;2(mod5)$

Suy ra phải có 1 số chia hết cho 5 mà $p,q,r$ là các số nguyên tố nên $p,r$ có 1 số bằng 5.

• Nếu $p=5$ $\Rightarrow$ $5q^4+4r^2=1849\Rightarrow q=3,r=19$
• Nếu $r=5\Rightarrow 3p^4-5q^4=126\Rightarrow 3p^4=5q^4+126$ loại vì $3q^4\equiv 3(mod5),126+5r^4\equiv 1(mod5)$

Vậy $p=5,q=3,r=19$

[Trang Luong]

Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh $\sum \left( a+ \frac 1b \right)^2 \ge 3(a+b+c+1)$.

 

Ta có : Áp dụng BĐT Bunhia

$\left ( 1+1+1 \right )\left [\sum \left ( a+\frac{1}{b} \right ) ^2\right ]\geq \left ( a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2$

BĐT tương đương là : $\left ( a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2\geq 9\left ( a+b+c+1 \right )$

Ta có : $\left ( a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2=\left [ \sum \left ( a+\frac{1}{a} \right ) \right ]^2=\sum a^2+\sum b^2c^2+6+2\left ( a+\frac{1}{a} \right )\left ( b+\frac{1}{b} \right )+2\left ( b+\frac{1}{b} \right )\left ( c+\frac{1}{c} \right )+2\left ( a+\frac{1}{a} \right )\left ( c+\frac{1}{c} \right )=\sum a^2+\sum b^2c^2+6+2\left ( \sum ab+\sum a \right )+2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq 6+2\sum a+4\sum ab+2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )=6+2\sum a+2\sum \left ( ab+\frac{a}{b}+ab+\frac{b}{a} \right )\geq 6+2\sum a+2\sum \left ( 2a+2b \right )=6+10\left ( a+b+c \right )\geq 9\left ( a+b+c+1 \right )$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$