Cho $n \in \mathbb{N},n\geq 2$. Người ta xếp xung quanh $1$ chiếc bàn tròn theo chiều kim đồng hồ $2n$ chiếc ghế $g_{1},...,g_{2n}$. Hỏi có bao nhiêu cách xếp $n$ cặp vợ chồng ngồi vào $2n$ chiếc ghế thoả mãn:
i) Chồng không ngồi kề vợ.
ii) Hai người cùng giới không ngồi kề nhau.
Đáp án bài này có thể viết gọn hơn như sau :
Số cách xếp thỏa mãn các ĐK đề bài là $2.n!\left [ \sum_{i=0}^{n}\left ( -1 \right )^{i}\frac{2n}{2n-i}C_{2n-i}^{i}\left ( n-i \right )! \right ]$
Trong đó :
$2.n!$ là số cách xếp $n$ ông chồng vào các ghế sao cho không có $2$ ông nào ngồi $2$ ghế cạnh nhau.
$\frac{2n}{2n-i}C_{2n-i}^{i}$ là số cách xếp $i$ bà vợ vào ghế sao cho $i$ bà vợ này được ngồi cạnh chồng của mình.
$\frac{2n}{2n-i}C_{2n-i}^{i}\left ( n-i \right )!$ là số cách sắp xếp sao cho $2$ người cùng giới không ngồi cạnh nhau và ÍT NHẤT có $i$ bà vợ được ngồi cạnh chồng mình (khi vị trí các ông chồng đã được xác định)