Chủ đề này có 1 trả lời

[LifeOfLifex998]

Cho tam giác ABC không có góc tù.Và: cos2A + 2$\sqrt{2}$cosB + 2$\sqrt{2}$cosC = 3

Tính góc A

[SuperReshiram]

Cho tam giác ABC không có góc tù.Và: cos2A + 2$\sqrt{2}$cosB + 2$\sqrt{2}$cosC = 3

Tính góc A

Ta có:$\cos 2A+1+2\sqrt{2}(\cos B+\cos C)-4=0\Leftrightarrow 2\cos^{2} A+4\sqrt{2}\cos \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}-4=0\Leftrightarrow 2\cos^{2} A+4\sqrt{2}\sin \frac{A}{2}\cos \frac{B-C}{2}-4=0$

Mặt khác: $\cos ^{2}A\leq \cos A,\sin \frac{A}{2}>0,\cos \frac{B-C}{2}\leq 1$ nên: 

$0\leq 2\cos A+4\sqrt{2}\sin \frac{A}{2}-4 \leq 2(1-\2sin ^{2}\frac{A}{2})+4\sqrt{2}\sin \frac{A}{2}-4 =-(2\sin \frac{A}{2}-\sqrt{2})^{2}$

Điều này chỉ xảy ra khi$$\sin \frac{A}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \frac{\widehat{A}}{2}= \frac{\Pi }{4}\Rightarrow \widehat{A}=\frac{ \Pi }{2}$$

Đồng thời ta có $\widehat{B}=\widehat{C}= \frac{\Pi }{4}$