Chủ đề này có 21 trả lời

[toilachinhtoi]

Tôi dự định viết một loạt bài về các vấn đề cơ bản trong giải tích: giới hạn, vi phân, tích phân. Mục đích chính là nhằm giúp các bạn học phổ thông ôn luyện kiến thức trước khi thi đại học và giúp các bạn sinh viên các năm đầu đại học. Những mục tôi dự định viết là:

_Các phương pháp tính giới hạn
_Đạo hàm riêng, tính đạo hàm hàm ẩn, hàm ngược
_Đạo hàm của các hàm số trong các không gian Banach, trong các không gian hàm (làm thế nào chứng minh một tích phân có đạo hàm)
_Các công thức tích phân Stokes, Gauss và các dạng vi phân

Tôi nghĩ các dạng vi phân không khó lắm để các bạn cấp 3 hiểu hơn nữa nó giúp hiểu được công thức đổi biến tích phân.


Rất mong các bạn hưởng ứng.

[Misrolla2611]

[FONT=Times]Toi hoan toan dong y voi anh toilachinhtoi. Viec nay rat thiet thuc va co y nghia, khong nhung giup cho sinh vien nam dau co cai nhin tot hon ve van de ho dang hoc, ma con anh huong khong nho den tu tuong cua hoc sinh pho thong. Toi thay, nhung em lop 12 neu co nang luc thi van co the hieu duoc Giai Tich cua chuong trinh Dai Hoc. Dieu nay, giup cac em hieu sau hon vao ban chat cua Dao Ham va Tich phan, Gioi Han cua ham so, khong nhung giup cho cac em trong ki thi hoc sinh gioi quoc gia , quoc te ma dieu quan trong hon la gay cho cac em mot niem hung thu va say me. Nhu toi, neu ma lop 12 biet duoc cac hoc phan nay hay va thu vi thi co le toi da khong danh nhieu thoi gian cho viec giai cac bai toan meo muc. Y kien cua anh toilachinhtoi that la sang suot.

[toilachinhtoi]

Theo như tôi nhớ thì hôm trước có Pizza ủng hộ tôi mà. Sao hôm nay không còn nữa ta????? Nhưng mà cũng không sao.

Anh hùng sợ gái không sợ chết,
Chẳng sợ lúc về lắm kẻ xu
Ca hát hát ca gì cho mệt
Ở đời lắm kẻ tối như mù

Bài đầu tiên tôi xin nói về giới hạn.

1) Giới hạn là gì? Giới hạn là một thuật ngữ của toán học để chỉ về một khái niệm của dân gian rằng một dãy càng ngày càng tiến gần đến một số.

2) Lưu ý khi nói về giới hạn

Khi người ta viết http://dientuvietnam...etex.cgi?(1 f(x))^{g(x)}=(1+f(x))^{[1/f(x)]f(x)/g(x)}.

Sử dụng công thức http://dientuvietnam...gi?[(27 2x)&^{1/3}-(9+x)^{1/2}]/x=[(27+2x)^{1/3}-3]/x+[3-(9+x)^{1/2}]/x

Tính từng giới hạn riêng biệt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 20-03-2006 - 18:58

[toilachinhtoi]

Trong bài này tôi trình bày những vấn đề về đạo hàm riêng, về vi phân toàn phần.

1) Đạo hàm riêng: Ta xét một hàm nhiều biến F(x,y,z). Đạo hàm riêng của F(x,y,z) theo biến x là đạo hàm của hàm một biến f(x)=F(x,y,z) khi y, z được coi như hằng số. Kí hiệu .

Ví dụ: thì còn

2) Công thức vi phân toàn phần

.

Công thức vi phân toàn phần dùng làm gì? Dùng để tính đạo hàm theo một biến t. Nếu x, y, z là các hàm phụ thuộc vào biến t thì

.

Ví dụ: Nếu F(x,y,t)=x+y+t^2 thì
bất kể x, y có phụ thuộc vào t hay không.

Nếu x, y không phụ thuộc t ta có
.

Nhưng nếu thì . Do đó . Ta cũng có thể dùng công thức vi phân toàn phần: Vì
nên .

3) Một số lưu ý về đạo hàm riêng:

Nếu F(x) là hàm một biến thì nếu F có đạo hàm tại một điểm ta có F liên tục tại điểm đó. Nhưng với hàm nhiều biến thì một hàm hai biến có thể có đạo hàm riêng nhưng không liên tục.

Đạo hàm riêng và đạo hàm là khác nhau, xem mục 2 ở trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 20-03-2006 - 18:59

[toilachinhtoi]

Hóa ra đánh Latex trên này cũng dễ.

4) Tính đạo hàm hàm ngược, hàm ẩn.

Tôi sẽ không phát biểu những điều kiện để các hàm ngược hàm ẩn tồn tại. Chỉ trình bày phương pháp tính thôi.

VD1: Cho y là hàm số theo x thỏa và tại . Tính y'(0).

Giải: Xét . Vì F=0 nên
theo công thức vi phân toàn phần ta có
. Thay x=0,y=0 vào biểu thức này ta được
. Vậy y'(0)=dy/dx=1.

VD2: Cho r,u là các hàm theo x,y thỏa x=rcos(u), y=rsin(u). Tính các đạo hàm riêng của r,u theo x,y tại các giá trị .

Giải
Ta có . Tại ta có
. Giải ra ta được
. Theo định nghĩa
được tính khi cho y là hằng số, bởi vậy dy=0, do đó , do đó .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 20-03-2006 - 19:04

[titeoteo]

You should type

[/tex]

instead of

[\tex]

Your posts are very helpful. I'll introduce them to some of my friends

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi titeoteo: 19-03-2006 - 22:56

[toilachinhtoi]

To titeoteo: thanks a lot.

5) Đạo hàm riêng bậc cao:

Cho F(x,y) là một hàm hai biến. Giả sử F có đạo hàm riêng theo x. Đặt http://dientuvietnam...x.cgi?df=-sin(u)du.

Vậy
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^2u"(x)+2xu'(x)-3u(x)=0. Bằng phép đổi biến http://dientuvietnam...metex.cgi?x=e^t hãy biểu diễn phương trình trên theo t.

Giải: Ta có http://dientuvietnam...metex.cgi?x=e^t nên http://dientuvietnam...ex.cgi?dx=e^tdt, do đó http://dientuvietnam...i?dt/dx=e^{-t}.

Dùng công thức vi phân toàn phần:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u'_x=u'_t.t'_x=u'_t.e^{-t}. Do đó
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u"_{xx}=(u'_x)'_x=(u'_t.e^{-t})'_x=(u'_t.e^{-t})'_t.t'_x=(u"_{tt}e^{-t}-u'_te^{-t})e^{-t}.

Thế vào phương trình đầu ta sẽ được phương trình theo t.

Bài tập đạo hàm hàm ngược, hàm ẩn

1) Cho f=f(x,y). Hãy biểu diễn Laplace của f: http://dientuvietnam...ex.cgi?x=rcos(u),y=rsin(u).

2) Cho u, v là các hàm của ba biến x, y, z thỏa
thỏa x=y=z=1 thì u=v=1. Tính khi x=y=z=1.

[pizza]

uh , toilachinhtoi nhớ dai quá . Bây giờ , em là hspt muốn tìm hiểu hàm nhiều biến . Em có một số câu hỏi :

1) Trong chương trình phổ thông , bọn em được dạy đạo hàm của f tại x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong f tại x0 , vậy đạo hàm riêng có ý nghĩa hình học thế nào ạh ? Ngoài ra , liệu có khái niệm đạo hàm toàn phần ko ah ? Nếu có thì em muốn biết ý nghĩa của nó ( liệu có liên quan đến hệ số góc ko ? ) . Hơn nữa , nếu có đạo hàm toàn phần của hàm nhiều biến thì có thể áp dụng để khảo sát hàm nhiều biến ko ? Cuối cùng , em muốn hỏi khái niệm đạo hàm trái và phải ntrong trường hợp nhiều bién thì sẽ thế nào ạh ?

2) Thầy nói đến vi phân toàn phần , vậy nó có ý nghĩa hình học thế nào ah ? Và Có khái niệm vi phân riêng ko ah ? Nếu có thì nó có ý nghĩa gì ?

3) Các đl về giá trị trung bình có còn trong trường hợp nhiều biến số ko ạ ? Nếu còn thì nó có dạng như thế nào ạ ? Và nếu các đl ấy vẫn có thì có thể áp dụng nó để tìm cực trị hàm nhiều biến như trường hợp 1 biến không ạ ?

Đấy , em có mấy câu hỏi như vậy , mong thầy toilachinhtoi giải đáp . Đối với đạo hàm bậc cao thì để sau ạh !

Mong thầy giải đáp

[toilachinhtoi]

Tôi sẽ cố gắng trả lời các câu hỏi của pizza trong nhưng phần tiếp theo.

Ý nghĩa của vi phân toàn phần: Ta sẽ xét chủ yếu trong trường hợp 2 biến và 3 biến. Tuy nhiên trong các trường hợp nhiều biến hơn những kết quả trình bày ở đây vẫn đúng. Tôi sẽ giả thiết hàm xác định trên toàn bộ không gian vì khái niệm tập mở đối với các bạn học phổ thông là khó khá hiểu.

a) Vi phân là sự xấp xỉ hiệu của giá trị hàm số tại hai điểm gần nhau:
Cho F(x,y,z) là một hàm ba biến. Cho http://dientuvietnam...gi?(x_0,y_0,z_0) và http://dientuvietnam...x,y_0 dy,z_0 dz) (với dx, dy, dz khá nhỏ) là hai điểm trong http://dientuvietnam...imetex.cgi?R^3. Vi phân toàn phần chính là xấp xỉ của hiệu giá trị của hàm tại hai điểm trên, nghĩa là
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x_0,y_0,z_0) và http://dientuvietnam...etex.cgi?(x,y,z)=(x_0+dx,y_0+dy,z_0+dz) thuộc mặt cong này. Theo công thức xấp xỉ ở phần a ở trên ta có (lưu ý rắng http://dientuvietnam...i?F(x_0,y_0,z_0)=F(x,y,z)=0)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(dx,dy,dz)=(x-x_0,y-y_0,z-z_0). Khi http://dientuvietnam...etex.cgi?(x,y,z) khá gần với http://dientuvietnam...gi?(x_0,y_0,z_0) thì (dx,dy,dz) khá nhỏ và đặc trưng cho một vécto chỉ phương của mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong F tại điểm http://dientuvietnam...gi?(x_0,y_0,z_0) (Hãy nhớ lại cách định nghĩa của tiếp tuyến một đường cong như là giới hạn của đường thẳng đi qua hai điểm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x_0,y_0) và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x,y) khi (x,y) chạy trên đường cong đến http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x_0,y_0) ).

Như vậy ta suy ra phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong tại điểm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x_0,y_0,z_0) là
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x-x_0,y-y_0,z-z_0.

VD: Cho êlip http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1. Tìm phương trình tiếp tuyến của êlip tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x_0,y_0) thuộc êlip.

Giải: Êlip là tập hợp các điểm (x,y) thỏa http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F(x,y):=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1=0. Tại điểm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x_0,y_0) trên êlip ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0=dF(x_0,y_0)=2\dfrac{x_0}{a^2}dx+2\dfrac{y_0}{b^2}dy. Thay dx, dy bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x-x_0,y-y_0 ta được phương trình tiếp tuyến là
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?2\dfrac{x_0}{a^2}(x-x_0)+2\dfrac{y_0}{b^2}(y-y_0)=0 hay
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1.

Bài tập:

1) Cho đường cong biểu diễn bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^3+y^4=2xy. Tìm phương trình tiếp tuyến tại (1,1).

2) Cho mặt cong biểu diễn bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^3+y^4-z^5=2xy-yz. Tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong tại (1,1,1).

Những vấn đề về những mặt cong và đường cong chính là những phần được nghiên cứu trong hình học vi phân, mà tôi hi vọng sau này sẽ có dịp trình bày.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 21-03-2006 - 19:03

[toilachinhtoi]

_Vi phân riêng phần có lẽ là vi phân theo một hướng cố định. Đạo hàm trái và phải có lẽ liên quan đến đạo hàm theo một hướng và định nghĩa phía nào là trái, phía nào là phải.

8) Đạo hàm theo hướng: Cho F(x,y,z) là một hàm số. Đạo hàm theo hướng u=(a,b,c) là được định nghĩa như sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x_0+ta,y_0+tb,z_0+tc) nằm trên đường thẳng đi qua http://dientuvietnam...gi?(x_0,y_0,z_0) với vécto chỉ phương (a,b,c). Đặc biệt ta thấy đạo hàm theo hướng Ox chính là đạo hàm riêng theo xhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R^3: Cho hai vécto u=(a,b,c),v=(x,y,z) thì tích vô hướng của u và v là u.v=ax+by+cz.

Ta có công thức sau: Nếu u=(a,b,c) thì
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=x_0+ta,y=y_0+tb,z=z_0+tc, với http://dientuvietnam...0,a,y_0,b,z_0,c là các hằng số ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2. Ta có http://dientuvietnam...tex.cgi?(2,2,-2).(1,2,3)=0.

10) Công thức Newton-Leipnitz: Chắc các bạn còn nhớ rằng nếu F(x) là hàm một biến khả vi liên tục thì ta có

Công thức Newton-Leipnitz
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(b)-f(a)=(b-a)f'©.

Trong trường hợp nhiều biến thì định lý Lagrange không còn đúng nhưng công thức Newton-Leibnitz vẫn đúng. Nếu u=(a,b,c) và v=(x,y,z) thì

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u-v=(a-x,b-y,c-z).

Từ công thức trên ta có kết quả sau: Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?||u||=\sqrt{a^2+b^2+c^2}. Thì .

[toilachinhtoi]

11) Cực trị hàm nhiều biến: Cho F(x,y,z) là một hàm ba biến. Một điểm (a,b,c) gọi là cực đại địa phương nếu có một vùng nhỏ quanh điểm (a,b,c), trong vùng đó F(a,b,c) là lớn nhất. Ví dụ, chúng ta thường hay nói rằng một người nào đó có lương nhiều nhất trong công ty của anh ta. Như vậy anh ta là một cực đại địa phương của hàm số tiền lương. Tương tự ta định nghĩa cực tiểu địa phương. Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị.

a) Định lý Fermat: Ta nhớ rằng nếu F(x) đạt cực trị tại x=a thì F'(a)=0. Trong trường hợp nhiều biến ta có cùng một kết quả như vậy: Nếu F(x,y,z) đạt cực trị tại (a,b,c) thì http://dientuvietnam...tex.cgi?F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. Ta thấy dễ dàng rằng http://dientuvietnam...x.cgi?0<x,y,z<1 thỏa http://dientuvietnam...x.cgi?f_1(x,y,z)=f_2(x,y,z)=...=f_k(x,y,z)=0.

Phương pháp nhận tử hóa của Lagrange: Nếu các điểm x, y,z phụ thuộc vào k điều kiện thì ta đưa thêm vào k biến http://dientuvietnam...?x^2 y^2 z^2=1. Tìm khoảng cách từ điểm (1,2,3) xuống mặt phẳng này.

Giải: Bình phương Khoảng cách từ điểm (1,2,3) xuống một điểm (x,y,z) trong mặt này là http://dientuvietnam...tex.cgi?F(x,y,z)=(x-1)^2+(y-2)^2+(3-z)^2. Vì có một phương trình ràng buộc nên ta đưa thêm vào một biến http://dientuvietnam...?x_1 ... x_n=1. Tiếp theo vì http://dientuvietnam...,...,x_n=y_n^2. Vậy ta đưa về chứng minh rằng http://dientuvietnam...^2 ... y_n^2=1.

Bài tập:

Cho x,y,z thỏa http://dientuvietnam...?x 2y 3z z^2=4. Tìm GTNN của http://dientuvietnam...x^2 200y^2-z^2.

[toilachinhtoi]

Sau này tôi sẽ trình bày về điều kiện đủ của cực trị của hàm nhiều biến. Dưới đây tôi sẽ trình bày về các dạng vi phân và tích phân.

12) Vì sao phải dùng dạng vi phân? Dạng vi phân xuất hiện khá tự nhiên ngay cả trong các bài toán tích phân sơ cấp. Ta xét một ví dụ điển hình như sau.

Giả sử cho một miền D trong mặt phẳng xOy và ta xét tích phân sau:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx.dy=cos(u)sin(u)drdr+(cos(u)cos(u)-sin(u)sin(u))drdu-r^2cos(u)sin(u)dudu???? Công thức này chẳng giống gì với công thức đổi biến tích phân ở trên cả. Hơn nữa làm cách nào tính được http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^1), g(x,y) (trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2)hay h(x,y,z) (trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^3).

1-form: Là những biểu thức dạng f(x)dx (trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^1), f(x,y)dx+g(x,y)dy
(trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2), f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz (trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^3), trong đó f, g, h là các 0-form.

b) Tích wedge:

Trước khi trình bày 2-form và 3 form ta trình bày tích wedge của các 1-form:
Cho dx, dy là 1-form. Tích wedge kí hiệu là http://dientuvietnam...metex.cgi?dx|dy thỏa (Xin lỗi tôi không đánh được dx^dy trong công thức):

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx|dx=0.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(adx+bdy)|dz=a(dx|dz)+b(dy|dz) nếu a, b là 0-form.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx|(ady+bdz)=a(dx|dy)+b(dx|dz) nếu a,b là 0-form.


Hệ quả http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx|dy=-dy|dx.

Về mặt hình học thì tích wedge http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx|dy la diện tích có hướng của hình bình hành có hai cạnh là dx, dy.

Tương tự, ta có thể định nghĩa các tích wedge của dx, dy, dz.

Như vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx|dy|dz=-dy|dx|dz=dy|dz|dx...

Về mặt hình học thì tích wedge http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx|dy|dz là thể tích có hướng của hình hộp có 3 cạnh dx, dy, dz.

c) 2-form và 3-form:

2-form là các biểu thức dạng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x,y)dx|dy, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x,y,z)dy|dz+g(x,y,z)dz|dx+h(x,y,z)dx|dy.

3-form là các biểu thức dạng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x,y,z)dx|dy|dz.

d) Đạo hàm ngoài của các dạng vi phân

Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega là một dạng vi phân. Khi đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d\omega là một dạng vi phân với bậc cao hơn.

Cụ thể:

_Vi phân của 0-form là 1-form, chính là vi phân toàn phần của hàm số đó.
Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx|dx=dy|dy=0,dx|dy=-dy|dx.

Tương tự, nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R^k thì vi phân của k-form là 0. Ví dụ trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R^1, nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R^k với tọa độ Đề các thông thường http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_1,...,x_k. Khi đó ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx_1|...|dx_k đều có giá trị là một vécto hằng.

Việc ta đổi biến trong các tích phân mặt chủ yếu là để đưa tích phân trên một mặt cong về tích phân của mặt phẳng rồi đưa về tích phân bội.

Bây giờ ta có thể tính lại thí dụ ở đầu bài này:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx=cos(u)dr-rsin(u)du,dy=sin(u)dr+rcos(u)du nên
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx|dy=rdr|du.

Bài tập: Dùng phép đổi biến http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=u^2+v^2,y=u^2-v^2. Hãy biểu diễn tích phân theo tích các biến u, v.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 25-03-2006 - 11:22

[titeoteo]

Chào anh toilachinhtoi!
Hôm bữa em có đọc 1 cuốn sách về Fourier transform, có 1 đoạn em kô hiểu. Đoạn đó nói về cách tính
Nó nói là đặt với và , dẫn đến , rồi suy ra
tích phân cần tính =
Em chưa thấy tích phân trên S^{n-1} kiểu này bao giờ cả. Kô biết nó giống tích phân mặt chỗ nào. Anh giải thích hộ em được không? Không thì chỉ cho cuốn sách em đọc cũng được (em mò trong thư viện chả thấy)
Cảm ơn anh nhiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi titeoteo: 25-04-2006 - 20:41

[toilachinhtoi]

Tích phân này giống như tích phân mặt thôi. Ta đổi biến (tọa độ cực tổng quát)

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=(x_1,...,x_n)=r(y_1,...,y_n) với http://dientuvietnam...x_1^2 ... x_n^2 và
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_1^2+...+y_n^2=1.

Xem chi tiết trong bài giảng 2 của
http://people.hofstr...ff_geom/tc.html

[toilachinhtoi]

15) Tọa độ cực suy rộng:
Ta sẽ áp dụng lý thuyết tổng quát về các dạng vi phân tính toán cụ thể cho phép đổi biến tọa độ cực. Để minh họa ở đây sẽ xem xét trường hợp 3 chiều.

Giả sử ta dùng phép đổi biến http://dientuvietnam...?x=ru,y=rv,z=rw ở đây http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} và http://dientuvietnam...?u^2 v^2 w^2=1. Nhận xét rằng điểm http://dientuvietnam...vdr,dz=rdw wdr. Vì http://dientuvietnam...i?u^2 v^2 w^2=1 ta suy ra http://dientuvietnam...?udu vdv wdw=0. Đặc biệt du^dv^dw=0.

Bây giờ phần tử thể tích trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^3 là dx^dy^dz=(rdu+udr)^(rdv+vdr)^(rdw+wdr).
Sử dụng tính chất dr^dr=du^du=dv^dv=dw^dw=0, và nhận xét du^dv^dw=0 ở trên, ta rút gọn được:

dx^dy^dz=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r^2(wdu^dv+udv^dw+vdw^du)^dr.

Như vậy nếu ta kí hiệu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^2) ta được
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dw=-(udu+vdv)/w để nhận được một công thức gọn hơn.

Trường hợp hay gặp: , ta có ta có thể thay vào để nhận được công thức thông thường.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 28-04-2006 - 20:13

[classpad300]

Bạn tham khảo tại đây:
http://www.echip.com...ng/trangmot.htm

[Kakalotta]

Chào anh toilachinhtoi!
Hôm bữa em có đọc 1 cuốn sách về Fourier transform, có 1 đoạn em kô hiểu. Đoạn đó nói về cách tính
Nó nói là đặt với và , dẫn đến , rồi suy ra
tích phân cần tính =
Em chưa thấy tích phân trên S^{n-1} kiểu này bao giờ cả. Kô biết nó giống tích phân mặt chỗ nào. Anh giải thích hộ em được không? Không thì chỉ cho cuốn sách em đọc cũng được (em mò trong thư viện chả thấy)
Cảm ơn anh nhiều

Có cái gì đâu, Mặt cầu S^n-1 là thuơng của hai nhóm compact SO(n)/SO(n-1), và trên đó không gian thuần nhất ta xác định độ đo là thuơng của độ đo Haar.

[toilachinhtoi]

16) Tích phân mặt-Một cách hiểu sơ lược:

Ta xét một siêu mặt K trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^m được xác định bởi phương trình http://dientuvietnam...i?f(x_1,...,x_m)=0 (ví dụ trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^3 các (siêu) mặt cong http://dientuvietnam...gi?x^2-y z=1...)

Ta gọi http://dientuvietnam...:=n(x_1,...,x_m) là vector pháp tuyến đơn vị ngoài của mặt cong K. Lưu ý rằng một vector pháp tuyến của mặt cong là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n=\pm\dfrac{v}{|v|} với việc lựa chọn dấu + hay - một cách thích hợp.

Ta định nghĩa dS là phần tử diện tích bề mặt trên mặt cong K, theo ý nghĩa rằng
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_j=0 với j=1,...,m thì ta thấy rằng nếu B là hình chiếu của A:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n=(n_1,...,n_m) và http://dientuvietnam...imetex.cgi?dS_j là phần tử diện tích bề mặt thông thường trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha và xét một hình hộp A trong P với hình chiếu của nó xuống Q là B và hãy tính tỉ số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{|A|}{|B|}).

Ta lưu ý rằng với tọa độ Decasrt thông thường http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x_1,...,x_m) của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R^{m} thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dS_j có thể biểu diễn như một dạng vi phân
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(-1)^{j-1}dx_1^http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx_2^...^http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx_{j-1}^http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx_{j+1}^...^http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dx_{m}
=:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(-1)^{j-1}d\hat{x_j}.

Như vậy ta nhận xét rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|n_j|dS=|dS_j|. Mối liên hệ này có thể trình bày một cách dễ nhớ theo dạng vector như sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?dS>0 là một số thực).

Ý nghĩa của công thức trên được trình bày bởi các công thức sau:

a) Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x.y=x_1y_1+...+x_my_m là tích vô hướng thông thường)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=r\omega, .

Hãy chứng minh rằng
với i=1,2,...,n.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 29-04-2006 - 20:30

[toilachinhtoi]

18) Định lý Stokes: Định lý Stokes là một trong những định lý rất quan trọng nhưng tôi nghĩ định lý này đã không được trình bày một cách thỏa đáng trong các SGK của Việt Nam, một phần có lẽ vì nó không được trình bày bằng các dạng vi phân.

Định lý Stokes cho các dạng vi phân: Cho S là một (đa tạp) mặt cong với biên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega là một dạng vi phân trên http://dientuvietnam...i?S=&#091;a,b]. Khi đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là một tập mở trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2 với biên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2 thì xảy ra 2 trường hợp:

i) http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^3, nếu http://dientuvietnam...ex.cgi?K=(f,g,h), http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^3 với biên . Nếu
f(x,y,z)dy^dz+g(x,y,z)dz^dx+h(x,y,z)dx^dy thì
dx^dy^dz=.

Do đó
(f(x,y,z)dy^dz+g(x,y,z)dz^dx+h(x,y,z)dx^dy)=.

Nếu dùng công thức b) mục 17 ta được
với K=(f,g,h) và n là vector pháp tuyến ngòai của .

[Tran Dinh Thanh]

[quote name='toilachinhtoi' date='Apr 30 2006, 02:51 PM']18) Định lý Stokes: Định lý Stokes là một trong những định lý rất quan trọng nhưng tôi nghĩ định lý này đã không được trình bày một cách thỏa đáng trong các SGK của Việt Nam, một phần có lẽ vì nó không được trình bày bằng các dạng vi phân.

Định lý Stokes cho các dạng vi phân: Cho S là một (đa tạp) mặt cong với biên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\omega là một dạng vi phân trên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là một xích kỳ dị có số chiều bằng bậc của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d\omega.