Chủ đề này có 6 trả lời

[manh9bvk9]

[attachment=18936:page-0.jpg]

[Juliel]

Bài 4 :

Dự đoán giá trị nhỏ nhất là $4$, ta đi chứng minh :

$$ab+bc+ca+1\geq 4abc$$

Thay $a,b,c$ lần lượt bởi nghịch đảo của nó ta được $ab+bc+ca=a+b+c$ và cần chứng minh :

$$a+b+c+abc\geq 4$$

Ta phản chứng $a+b+c+abc=4\;\;\;(*)$ và đi chứng minh :

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

Từ đẳng thức $(*)$ ta suy ra tồn tại các số dương $a,b,c$ sao cho :

$$x=\dfrac{2a}{b+c},y=\dfrac{2b}{c+a},z=\dfrac{2c}{a+b}$$

Như vậy chỉ cần chứng tỏ :

$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{2ab}{(b+c)(c+a)}+\dfrac{2bc}{(c+a)(a+b)}+\dfrac{2ca}{(a+b)(b+c)}\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$

Đúng theo Schur.

 

Bài 3 :

Viết phương trình hàm đã cho dưới dạng :

$$f(x+f(y))+3f(x)=4x+f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$$

Cố định $y$ thì vế phải là hàm bậc nhất theo $x$ nên sẽ vét cạn tập $\mathbb{R}$. Suy ra với mọi số thực $t$, tồn tại các số thực $u,v$ sao cho :

$$f(u)+3f(v)=t$$

Trong $(1)$ lấy $x=0$ :

$$f(f(y))=f(y)-3f(0),\;\forall y\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $f(x)$ :

$$f(f(x)+f(y))=4f(x)+f(y)-3f(f(x))=4f(x)+f(y)-3(f(x)-3f(0))=f(x)+f(y)+9f(0),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $f(x)+f(y)$ :

$$f(f(x)+2f(y))=4(f(x)+f(y))+f(y)-3f(f(x)+f(y))=4f(x)+5f(y)-3(f(x)+f(y)+9f(0))=f(x)+2f(y)-27f(0),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $f(x)+2f(y)$ :

$$f(f(x)+3f(y))=4(f(x)+2f(y))+f(y)-3(f(x)+2f(y)-27f(0))=f(x)+3f(y)+81f(0),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(*)$$

Trong $(*)$ lấy $x=u,y=v$ :

$$f(t)=f(f(u)+3f(v))=f(v)+3f(v)+81f(0)=t+a,\;\forall t\in \mathbb{R},a=const$$

Thay vào $(1)$ tìm được $a=0$. Như vậy có duy nhất một hàm thỏa đề là :

$$f(x)=x,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

[Nguyen Chi Thanh 3003]

Bài 1 

$ĐK: \frac{4}{5}\leqslant x\leqslant 5$

Phương trình

$\sqrt{-x+5} + \sqrt{5x-4}=\frac{2x+7}{3}$

$<=> 3\sqrt{-x+5} + x-7 + 3\sqrt{5x-4}-3x=0$

$<=>\frac{-9x+45-x^2+14x-49}{3\sqrt{-x+5}+7-x}+\frac{3(5x-4-x^2)}{\sqrt{5x-4}+x}=0$

$<=>\frac{x^2-5x+4}{3\sqrt{-x+5}+7-x}+\frac{3(x^2-5x+4)}{\sqrt{5x-4}+x}=0$

$<=>(x-1)(x-4)\left ( \frac{1}{3\sqrt{-x+5}+7-x} +\frac{3}{\sqrt{5x-4}+x}\right )=0$

Có $\frac{1}{3\sqrt{-x+5}+7-x} +\frac{3}{\sqrt{5x-4}+x}=0$ vô nghiệm

Vậy tập nghiệm phương trình là $\left \{ 1;4 \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Chi Thanh 3003: 04-07-2014 - 11:34

[BysLyl]

Bài 1 

$ĐK: \frac{7}{2}\leqslant x\leqslant 5$

Phương trình

$\sqrt{-x+5} + \sqrt{5x-4}=\frac{2x+7}{3}$

$<=> 3\sqrt{-x+5} + x-7 + 3\sqrt{5x-4}-3x=0$

$<=>\frac{-9x+45-x^2+14x-49}{3\sqrt{-x+5}+7-x}+\frac{3(5x-4-x^2)}{\sqrt{5x-4}+x}=0$

$<=>\frac{x^2-5x+4}{3\sqrt{-x+5}+7-x}+\frac{3(x^2-5x+4)}{\sqrt{5x-4}+x}=0$

$<=>(x-1)(x-4)\left ( \frac{1}{3\sqrt{-x+5}+7-x} +\frac{3}{\sqrt{5x-4}+x}\right )=0$

Có $\frac{1}{3\sqrt{-x+5}+7-x} +\frac{3}{\sqrt{5x-4}+x}=0$ vô nghiệm

Vậy tập nghiệm phương trình là $\left \{ 1;4 \right \}$

Nghiệm là 4 thôi chứ vì ĐK là $x\geq \frac{7}{2}$  kìa

[LHMTr]

bài 1 là nghịch biến chỉ cần chỉ ra nghiệm rùi chỉ ra các số thực khác không thỏa là ổn nhỉ ?

[Nguyen Chi Thanh 3003]

Nghiệm là 4 thôi chứ vì ĐK là $x\geq \frac{7}{2}$  kìa

Sorry nhầm ... ĐK là $x>\frac{4}{5}$ chứ ko phải $\frac{7}{2}$
Nghiệm $1$ vẫn đúng bạn ạ

[Nguyen Chi Thanh 3003]

Chém thêm câu hình

Giả sử $AB<AC$

Gọi $D;E$ là chân các phân giác trong và ngoài đỉnh $A$

Từ giả thiết ta có $\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}$

Theo tính chất phân giác ta sẽ có \frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}=\frac{EB}{EC}

Từ hai điều trên suy ra $MD; ME$ cũng là phân giác trong và ngoài $\widehat{BMC}$

Suy ra được $A$ và $M$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $DE$, đặt tâm là $J$

Gọi giao của $BM$ và $CM$ với $(J)$ là  $N; P$ ta có được

$\widehat{CMD}=\widehat{BMD}=\widehat{CEN}$

và $\frac{MD}{EN}=\frac{MB}{EB}=\frac{MC}{EC}$

$=> \Delta CMD$ và $\Delta CEN$ đồng dạng nên suy ra $\widehat{MCD}=\widehat{ECN}$

suy ra tiếp $N$ và $P$ đối xứng qua BC
Xét $\widehat{AMB} - \widehat{AMC} = \frac{1}{2}sdAEN - \left ( 180^{\circ} \right - \frac{1}{2}sdAP )$

$=\frac{1}{2}sdPEN+sdAP-180^{\circ}$ $=sdAPE-180^{\circ}=2\widehat{ADB}-180^{\circ}=const$

Như vậy ta có đpcm

Đoạn trên latex lỗi sửa ko dc mọi người thông cảm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Chi Thanh 3003: 04-07-2014 - 14:36