Chủ đề này có 6 trả lời

[hapuvotan]

Làm đề này nhé

Hình gửi kèm

• 

[Nguyen Chi Thanh 3003]

Câu 1

Từ phương trình $(1)$ ra được $x^2=\frac{y^2+1}{2}$

Phương trình $(2)$ $<=> 2x^2+8x^2-6xy+3x-2y-6=0$

$<=> 2x^2 + \frac{8(y^2+1)}{2}-6xy+3x-2y-6=0$

$<=>2x^2+3x(1-2y)+4y^2-2y-2=0$

Coi là phương trình bậc hai ẩn $x$ có

$\Delta =9(1-2y)^2+8(4y^2-2y-2)=(2y-5)^2$

Từ đó có được

$\begin{bmatrix} x=2y-2 & & \\ x=\frac{2y+1}{2} & & \end{bmatrix}$

Thay vào phương trình $(1)$ được kết quả nghiệm $(x;y)$ của hệ là

$\left \{ \left ( \frac{2+2\sqrt{15}}{7};\frac{8+\sqrt{15}}{7} \right );\left ( \frac{2-2\sqrt{15}}{7};\frac{8-\sqrt{15}}{7} \right );\left ( \frac{-1+\sqrt{6}}{2};\frac{-2+\sqrt{6}}{2} \right );\left ( \frac{-1-\sqrt{6}}{2};\frac{-2-\sqrt{6}}{2} \right ) \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Chi Thanh 3003: 03-07-2014 - 09:00

[thukilop]

Bài 1: 

Lấy pt (2)-4pt(1) ta cũng ra $2x^2+4y^2-6xy+3x-2y-2$ ....

p/s: Hệ pt dạng này "chắc" không ai ra nữa đâu vì đã có cách giải tổng quát rồi   

[khanghaxuan]

Bài 1: 

Lấy pt (2)-4pt(1) ta cũng ra $2x^2+4y^2-6xy+3x-2y-2$ ....

p/s: Hệ pt dạng này "chắc" không ai ra nữa đâu vì đã có cách giải tổng quát rồi   

Cách tổng quát nào vậy bạn ? Sao mà lạ vậy ! 

[hapuvotan]

Cách tổng quát nào vậy bạn ? Sao mà lạ vậy ! 

 

Có thể là đk có no bạn ạ

[Trung Gauss]

Mình chém tạm câu này:

câu 3: Trước hết, ta cần chứng minh rằng, với $x_1<x_2<...<x_m$. Ta có:

                                  $x_1^2+x_2^2+...+x_m^2\ge \dfrac{2m+1}{3}(x_1+x_2+...+x_m)$

   Thật vậy, với $m=1$, đúng

   Giả sử khẳng định trên đúng tới $m=k\ge 1$, tức là:

                                    $x_1^2+x_2^2+...+x_k^2\ge \dfrac{2k+1}{3}(x_1+x_2+...+x_k)$

   Với $m=k+1$, ta cần chỉ ra:

                                    $\sum_{i=1}^{k+1}x_i^2\ge \dfrac{2k+1}{3}\sum_{i=1}^kx_i+\dfrac{2k+1}{3}x_{k+1}+\dfrac{2}{3}\sum_{i=1}^{k+1}x_i$

   Sử dụng giả thiết qui nạp, ta cần chứng minh:

                                    $a_{k+1}^2\ge \dfrac{2}{3}\sum_{i=1}^{k}x_i+\dfrac{2k+3}{3}x_{k+1}$

   Để ý rằng, 

                                    $\sum_{i=1}^kx_i\le (x_{k+1}-1)x_{k+1}$

                               $\Leftrightarrow \sum_{i=1}^kx_i +\dfrac{2k+3}{3}x_{k+1}\le \dfrac{x_{k+1}^2-x_{k+1}+(2k+3)x_{k+1}}{3}$

                               $\Leftrightarrow x_{k+1}\ge k+1$

 Điều này luôn đúng vì $x_i$ nguyên dương phân biệt. Do đó khẳng định được chứng minh.

 Trở lại bài toán, dễ dàng thấy ngay rằng,  

                                       $x_1^2+x_2^2+...+x_m^2\le \dfrac{2m+1}{3}(x_1+x_2+...+x_m)$

 xảy ra khi và chỉ khi    $x_1^2+x_2^2+...+x_m^2= \dfrac{2m+1}{3}(x_1+x_2+...+x_m)$, tức là $x_1=1, x_2=2, x_3=3,..., x_n=n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 10-07-2014 - 11:25

[thukilop]

Bài 5: Tương tự như bài IMO 1978: http://www.cs.cornel...n/isoln786.html

Chỉ khác một điều là đổi số 1978 thành 2014... Thật ra chỉ cần xét 1,2,3...,1954 là được rồi và số 1954 là số bé nhất thỏa mãn các yêu cầu của đề   Đây thực chất là một bài toán Đirichlet kết hợp sum-free cho lời giải dễ hiểu