Đến nội dung


Hình ảnh

Đề đề nghị duyên hải ĐBBB thpt chuyên Hưng Yên năm 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 hapuvotan

hapuvotan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 01-07-2014 - 19:06

Làm đề này nhé

Hình gửi kèm

  • IMG_20140701_185019.JPG


#2 Nguyen Chi Thanh 3003

Nguyen Chi Thanh 3003

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán K55 THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam
  • Sở thích:Nghe nhạc ...

Đã gửi 03-07-2014 - 08:59

Câu 1

Từ phương trình $(1)$ ra được $x^2=\frac{y^2+1}{2}$

Phương trình $(2)$ $<=> 2x^2+8x^2-6xy+3x-2y-6=0$

$<=> 2x^2 + \frac{8(y^2+1)}{2}-6xy+3x-2y-6=0$

$<=>2x^2+3x(1-2y)+4y^2-2y-2=0$

Coi là phương trình bậc hai ẩn $x$ có

$\Delta =9(1-2y)^2+8(4y^2-2y-2)=(2y-5)^2$

Từ đó có được

$\begin{bmatrix} x=2y-2 & & \\ x=\frac{2y+1}{2} & & \end{bmatrix}$

Thay vào phương trình $(1)$ được kết quả nghiệm $(x;y)$ của hệ là

$\left \{ \left ( \frac{2+2\sqrt{15}}{7};\frac{8+\sqrt{15}}{7} \right );\left ( \frac{2-2\sqrt{15}}{7};\frac{8-\sqrt{15}}{7} \right );\left ( \frac{-1+\sqrt{6}}{2};\frac{-2+\sqrt{6}}{2} \right );\left ( \frac{-1-\sqrt{6}}{2};\frac{-2-\sqrt{6}}{2} \right ) \right \}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Chi Thanh 3003: 03-07-2014 - 09:00


#3 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 06-07-2014 - 08:33

Bài 1: 

Lấy pt (2)-4pt(1) ta cũng ra $2x^2+4y^2-6xy+3x-2y-2$ ....

p/s: Hệ pt dạng này "chắc" không ai ra nữa đâu vì đã có cách giải tổng quát rồi  :B) 


-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#4 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 07-07-2014 - 16:07

Bài 1: 

Lấy pt (2)-4pt(1) ta cũng ra $2x^2+4y^2-6xy+3x-2y-2$ ....

p/s: Hệ pt dạng này "chắc" không ai ra nữa đâu vì đã có cách giải tổng quát rồi  :B) 

Cách tổng quát nào vậy bạn ? Sao mà lạ vậy ! 


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#5 hapuvotan

hapuvotan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Đã gửi 09-07-2014 - 08:32

Cách tổng quát nào vậy bạn ? Sao mà lạ vậy ! 

 

Có thể là đk có no bạn ạ



#6 Trung Gauss

Trung Gauss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Đã gửi 09-07-2014 - 09:36

Mình chém tạm câu này:

câu 3: Trước hết, ta cần chứng minh rằng, với $x_1<x_2<...<x_m$. Ta có:

                                  $x_1^2+x_2^2+...+x_m^2\ge \dfrac{2m+1}{3}(x_1+x_2+...+x_m)$

   Thật vậy, với $m=1$, đúng

   Giả sử khẳng định trên đúng tới $m=k\ge 1$, tức là:

                                    $x_1^2+x_2^2+...+x_k^2\ge \dfrac{2k+1}{3}(x_1+x_2+...+x_k)$

   Với $m=k+1$, ta cần chỉ ra:

                                    $\sum_{i=1}^{k+1}x_i^2\ge \dfrac{2k+1}{3}\sum_{i=1}^kx_i+\dfrac{2k+1}{3}x_{k+1}+\dfrac{2}{3}\sum_{i=1}^{k+1}x_i$

   Sử dụng giả thiết qui nạp, ta cần chứng minh:

                                    $a_{k+1}^2\ge \dfrac{2}{3}\sum_{i=1}^{k}x_i+\dfrac{2k+3}{3}x_{k+1}$

   Để ý rằng, 

                                    $\sum_{i=1}^kx_i\le (x_{k+1}-1)x_{k+1}$

                               $\Leftrightarrow \sum_{i=1}^kx_i +\dfrac{2k+3}{3}x_{k+1}\le \dfrac{x_{k+1}^2-x_{k+1}+(2k+3)x_{k+1}}{3}$

                               $\Leftrightarrow x_{k+1}\ge k+1$

 Điều này luôn đúng vì $x_i$ nguyên dương phân biệt. Do đó khẳng định được chứng minh.

 Trở lại bài toán, dễ dàng thấy ngay rằng,  

                                       $x_1^2+x_2^2+...+x_m^2\le \dfrac{2m+1}{3}(x_1+x_2+...+x_m)$

 xảy ra khi và chỉ khi    $x_1^2+x_2^2+...+x_m^2= \dfrac{2m+1}{3}(x_1+x_2+...+x_m)$, tức là $x_1=1, x_2=2, x_3=3,..., x_n=n$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 10-07-2014 - 11:25


#7 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 10-07-2014 - 21:22

Bài 5: Tương tự như bài IMO 1978: http://www.cs.cornel...n/isoln786.html

Chỉ khác một điều là đổi số 1978 thành 2014... Thật ra chỉ cần xét 1,2,3...,1954 là được rồi và số 1954 là số bé nhất thỏa mãn các yêu cầu của đề  :wub: Đây thực chất là một bài toán Đirichlet kết hợp sum-free cho lời giải dễ hiểu  :icon6: 


-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh