Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Chứng minh với mọi số thực không âm a, b, c ta có:

$\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}-ca+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}\geq 2$

 



#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Chứng minh với mọi số thực không âm a, b, c ta có:

$\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}-ca+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}\geq 2$

 

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geqslant b\geqslant c\geqslant 0$

 

Khi đó ta có

 

$\frac{a^2}{b^2-bc+c^2}=\frac{a^2}{b^2+c(c-b)}\geqslant \frac{a^2}{b^2}$

 

$\frac{b^2}{c^2-ac+a^2}=\frac{b^2}{a^2+c(c-a)}\geqslant \frac{b^2}{a^2}$

 

$\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\geqslant 0$

 

Do đó $\frac{a^2}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\geqslant \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\geqslant 2$

 

($AM-GM$)

 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b$, $c=0$ và các hoán vị

 

----------------------

 

P/s: bài này rất thú vị  :icon6:






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh