Chủ đề này có 1 trả lời

[tuananh2000]

Cho $a;b;c;d \in \left [ 0;1 \right ]$. Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{a}{bc+cd+db+1}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 22-07-2014 - 22:43

[ChinhLu]

Cho $a;b;c;d \in \left [ 0;1 \right ]$. Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{a}{bc+cd+db+1}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}$$

Ta đánh giá $bd+1\geq b+d$. Từ đó $bc+cd+db +1\geq (c+1)(b+d)\geq (c+a)(b+d)$. Đặt $x= \frac{a+c}{2}, y= \frac{b+d}{2}$. Đưa BDT đã cho về 

$$\frac{x+y}{xy}\leq \frac{3}{2}+\frac{1}{2x^2y^2}.$$

Áp dụng thêm lần nữa $x+y\leq xy+1$ thì ta thu được $(xy-1)^2\geq 0$.