Đến nội dung


Hình ảnh

$\sum \frac{a}{bc+cd+db+1}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 tuananh2000

tuananh2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-07-2014 - 16:03

Cho $a;b;c;d \in \left [ 0;1 \right ]$. Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{a}{bc+cd+db+1}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 22-07-2014 - 22:43

Live more - Be more  


#2 ChinhLu

ChinhLu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Pisa Italy
  • Sở thích:Football, chess

Đã gửi 23-07-2014 - 03:39

Cho $a;b;c;d \in \left [ 0;1 \right ]$. Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{a}{bc+cd+db+1}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}$$

Ta đánh giá $bd+1\geq b+d$. Từ đó $bc+cd+db +1\geq (c+1)(b+d)\geq (c+a)(b+d)$. Đặt $x= \frac{a+c}{2}, y= \frac{b+d}{2}$. Đưa BDT đã cho về 

$$\frac{x+y}{xy}\leq \frac{3}{2}+\frac{1}{2x^2y^2}.$$

Áp dụng thêm lần nữa $x+y\leq xy+1$ thì ta thu được $(xy-1)^2\geq 0$. 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh