Chủ đề này có 3 trả lời

[maitram]

Tính định thức

$D_{n}=\begin{vmatrix} \frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &0 &0 &\cdots &0 &0 \\ 1 &\frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &0 &\cdots &0 &0 \\ 0 &1 &\frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &\cdots &0 &0 \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 &0 &0 &0 &\cdots &1 &\frac{2}{x} \end{vmatrix}$

 

 

[Crystal]

Tính định thức

$D_{n}=\begin{vmatrix} \frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &0 &0 &\cdots &0 &0 \\ 1 &\frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &0 &\cdots &0 &0 \\ 0 &1 &\frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &\cdots &0 &0 \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 &0 &0 &0 &\cdots &1 &\frac{2}{x} \end{vmatrix}$

Với $x \ne 0$, khai triển định thức theo dòng (1):

\[{D_n} = \frac{2}{x}{D_{n - 1}} - \frac{1}{{{x^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{1}{{{x^2}}}}&0&{...}&0&0\\ 0&{\frac{2}{x}}&{\frac{1}{{{x^2}}}}&{...}&0&0\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ 0&0&0&{...}&1&{\frac{2}{x}} \end{array}} \right|\]

 

Khai triển định thức trên theo cột (1), ta có:

\[{D_n} = \frac{2}{x}{D_{n - 1}} - \frac{1}{{{x^2}}}{D_{n - 2}}\,\,\,\,\left( * \right),\,\,n \ge 3\]

Từ công thức truy hồi $\left( * \right)$, áp dụng giải phương trình sai phân:

\[{k^2} - \frac{2}{x}k + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {k - \frac{1}{x}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow k = \frac{1}{x}\]

Từ đó tìm được nghiệm tổng quát của ${D_n}$. Tính các nghiệm bình thường rồi suy ra được ${D_n}$.

 

[maitram]

 

Với $x \ne 0$, khai triển định thức theo dòng (1):

\[{D_n} = \frac{2}{x}{D_{n - 1}} - \frac{1}{{{x^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{1}{{{x^2}}}}&0&{...}&0&0\\ 0&{\frac{2}{x}}&{\frac{1}{{{x^2}}}}&{...}&0&0\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ 0&0&0&{...}&1&{\frac{2}{x}} \end{array}} \right|\]

 

Khai triển định thức trên theo cột (1), ta có:

\[{D_n} = \frac{2}{x}{D_{n - 1}} - \frac{1}{{{x^2}}}{D_{n - 2}}\,\,\,\,\left( * \right),\,\,n \ge 3\]

Từ công thức truy hồi $\left( * \right)$, áp dụng giải phương trình sai phân:

\[{k^2} - \frac{2}{x}k + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {k - \frac{1}{x}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow k = \frac{1}{x}\]

Từ đó tìm được nghiệm tổng quát của ${D_n}$. Tính các nghiệm bình thường rồi suy ra được ${D_n}$.

 

 

 

Bạn /anh cho mình hỏi đáp số là $\frac{n+1}{x^{n}}$ phải không

[Crystal]

Bạn /anh cho mình hỏi đáp số là $\frac{n+1}{x^{n}}$ phải không

Đáp số: $\boxed{{D_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{x^n}}}}$

 

Cụ thể:

Phương trình sai phân có nghiệm kép $k = \frac{1}{x}$ do đó ${D_n}$ có dạng tổng quát:

\[{D_n} = \left( {{C_1} + n{C_2}} \right){\left( {\frac{1}{x}} \right)^n}\]

Hai hằng số ${C_1},{C_2}$ được xác định dựa vào điều kiện ban đầu. Tính trực tiếp ${D_1},{D_2}$ ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l} {D_1} = \frac{1}{x}\left( {{C_1} + {C_2}} \right) = \frac{2}{x}\\ {D_2} = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {{C_1} + 2{C_2}} \right) = \frac{3}{{{x^2}}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {C_1} = 1\\ {C_2} = 1 \end{array} \right.\]

Từ đó suy ra: $\boxed{{D_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{x^n}}}}$