Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$(x-1)^2\left [1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n \right ]=1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Đế Thích Thiên

Đế Thích Thiên

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Đã gửi 18-03-2006 - 22:00

Giải phương trình:
$$(x-1)^2\left [1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n \right ]=1$$
Trong đó $n$ là số nguyên dương.

#2 tieutuhamchoi98

tieutuhamchoi98

    Trung sĩ

  • Banned
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nguyệt Đức - Yên Lạc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 10-03-2013 - 17:40

Hế! Bài này vừa thi xong!
Có 2 cách:
1. Nhân bung hết ra! Nhóm các thừa số cùng bậc rồi triệt tiêu hết!
Nghiệm: $x= 0 or x=\frac{x+2}{x+1}$
2. Đặt $S= 1+2x+3x^{2}+4x^{3}+...+(n+1)x^{n}$ thì:
$S.x= x+2x^{2}+3x^{3}+4x^{4}+...+(n+1)x^{n+1}$
Do vậy:
$S.(1-x)= 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...+x^{n+1}$
Do đó: $S.(1-x)^{2}= x^{n+1}-$

#3 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 10-03-2013 - 23:07

Giải phương trình:
$$(x-1)^2\left [1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n \right ]=1$$
Trong đó $n$ là số nguyên dương.

Nhận thấy $x=1$ không là nghiệm phương trình.

Ta có: \[x + {x^2} + \cdots + {x^{n + 1}} = x\left( {1 + x + {x^2} + \cdots {x^n}} \right) = \frac{{x\left( {1 - {x^{n + 1}}} \right)}}{{1 - x}}\]

Nên \[ \Rightarrow 1 + 2x + \cdots + \left( {n + 1} \right){x^2} = \left( {\frac{{x - {x^{n + 1}}}}{{1 - x}}} \right)' = \frac{{\left[ {1 - \left( {n + 1} \right){x^n}} \right]\left( {1 - x} \right) + x\left( {1 - {x^n}} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\]

Nên phương trình đã cho trở thành:

\[\left[ {1 - \left( {n + 1} \right){x^n}} \right]\left( {1 - x} \right) + x\left( {1 - {x^n}} \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow - \left( {n + 1} \right){x^n} + n{x^{n + 1}} = 0\]


\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \\
x = \frac{{n + 1}}{n} \\
\end{array} \right.\]

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x=0;x=\dfrac{n+1}{n}$

#4 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 06-04-2013 - 16:46

Giải phương trình:
$$(x-1)^2\left [1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n \right ]=1$$
Trong đó $n$ là số nguyên dương.

 

 

Em chém thêm cách nữa dùng sai phân từng phần:
Trước hết, ta cần tính tổng sau với $x \neq 1$:
$$S=\sum^n_{k=0} (k+1)x^k$$
Ta có:
$$\left\{\begin{matrix}x^k=\Delta \left [ \frac{x^k-x}{x-1} \right ]\\ \Delta \left [ k+1 \right ]=k+2-k-1=1\end{matrix}\right.$$
Suy ra:
$$S=\sum^n_{k=0} (k+1)x^k=\left. \frac{(x^k-x)(k+1)}{x-1} \right|^{n+1}_{k=0}-\sum^n_{k=0}\frac{x^{k+1}-x}{x-1}\\=\frac{x^{n+1}(n+2)-xn-x-1}{x-1}-\frac{1}{x-1} \sum^{n}_{k=0} \left(x^{k+1}-x\right)\\=\frac{x^{n+1}(n+2)-xn-x-1}{x-1}+\frac{(n+1)x}{x-1}-\frac{1}{x-1} \sum^n_{k=0}x^{k+1}\\=\frac{(n+2)x^{n+1}-1}{x-1}-\frac{1}{x-1} \sum^n_{k=0} \Delta \left [ \frac{x^{k+1}-x}{x-1} \right ]\\=\frac{(n+2)x^{n+1}-1}{x-1}-\frac{x(x^{n+1}-1)}{(x-1)^2}\\= \frac{x^{n+1}(x+xn-n-2)+1}{(x-1)^2}$$

____________________
Bây giờ thì xét 2 TH:
Nếu $x=1$ thì PT vô nghiệm do $VT=0,VP=1$

Nếu $x \neq 1$ thì PT tương đương với:
$$x^{n+1}(x+xn-n-2)+1=1 \\ \Leftrightarrow  x^{n+1}(x+xn-n-2)=0 \\ \Leftrightarrow \left\{x=0,x=\frac{n+2}{n+1}\right\}$$

____________________

Anh PSW ơi, bạn kia làm khác kết quả của em ...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 06-04-2013 - 16:49

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-04-2013 - 16:30

Chấm bài nthoangcute: 10 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh