Chủ đề này có 3 trả lời

[Viet Hoang 99]

Cho $a;b;c>0$. Cmr:

$P=\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

 

Tiếp theo chúng ta đến với bài sau:

http://diendantoanho...rac92sum-sqrta/

[buitudong1998]

Cho $a;b;c>0$. Cmr:

$P=\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

 

Tiếp theo chúng ta đến với bài sau:

http://diendantoanho...rac92sum-sqrta/

C1:Ta có: $4(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}})\geqslant 4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}\geqslant 9\Rightarrow (DPCM)$

C2: Có: 

$\sum \frac{a^{2}}{ab^{2}+ac^{2}+2abc}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a^{2}b+6abc}$

Vậy ta cần CM:

$4(a+b+c)^{3}\geqslant 9\sum a^{2}b+54abc\Leftrightarrow 4\sum a^{3}+12\sum a^{2}b+24abc\geqslant 9\sum a^{2}b+54abc\Leftrightarrow 4\sum a^{3}+3\sum a^{2}b\geqslant 30abc$

(Đúng theo $AM-GM$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 12-07-2014 - 19:53

[Viet Hoang 99]

Cho $a;b;c>0$. Cmr:

$P=\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

 

Tiếp theo chúng ta đến với bài sau:

http://diendantoanho...rac92sum-sqrta/

Cách 3:

 

$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{9a}{4(a+b+c)^2}\geq \frac{3a}{(b+c)(a+b+c)}$

$\Rightarrow P+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq \frac{3}{a+b+c}\left ( \sum \frac{a}{b+c} \right )\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$

$\Rightarrow $ đpcm.

[KietLW9]

Áp dụng Cô-si, ta có: $$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2=\frac{1}{2}.2a(b+c)(b+c)+\frac{1}{2}.2b(c+a)(c+a)+\frac{1}{2}.2c(a+b)(a+b)\leqslant\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+ \frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}=\frac{4}{9}(a+b+c)^3$$

$\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}= \sum_{cyc}\frac{a^2}{a(b+c)^2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}a(b+c)^2} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{9}(a+b+c)^3} =\frac{9}{4(a+b+c)}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 12-04-2021 - 18:09