APMO 2000!
#1
Đã gửi 31-01-2005 - 10:40
- pndpnd yêu thích
(Tục ngữ Ấn Độ).
#2
Đã gửi 29-08-2011 - 17:06
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, phân giác AN. Đường vuông góc với AN tại N cắt AM , AB tại Q, P. Đưởng vuông góc với AB tại P cắt AN tại K. Chứng minh KQ vuông góc BC.
từ P vẽ đường thẳng song song với BC cắt AM tại I , cắt AN tại J ,cắt AC tại R ,
do BM = MC và BC // PR ta chứng minh được PI=IR (định lí Talet )
suy ra IN // AC (d trung bình )
ta có $\dfrac{NI}{AL} = \dfrac{IQ}{QA}$ ( do NI // AL ) (1)
lại có $\dfrac{AL}{AR}= \dfrac{AP}{AR}=\dfrac{PJ}{JR}$ (tc phân giác ) (2)
lấy (1) nhân (2) theo vế suy ra $\dfrac{NI.AL}{AL.AR}= \dfrac{IQ.PJ}{QA.JR}$
thu gọn ta có $\dfrac{NI}{AR} = \dfrac{IQ.PJ}{QA.JR}$
mà $\dfrac{NI}{AR}= \dfrac{JI}{JR}$ (do NI // AR ) nên $\dfrac{JI}{JR}= \dfrac{IQ.PJ}{QA.JR}$
rút gọn ta có $\dfrac{JI}{JP} =\dfrac{ IQ}{QA}$ suy ra QJ // AP mà PK AP nên PK QJ
suy ra J là trực tâm tam giác QPK nên PR QK
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 29-08-2011 - 18:47
- BlackSelena, hieph1tv, no matter what và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 08-04-2017 - 22:03
từ P vẽ đường thẳng song song với BC cắt AM tại I , cắt AN tại J ,cắt AC tại R ,
do BM = MC và BC // PR ta chứng minh được PI=IR (định lí Talet )
suy ra IN // AC (d trung bình )
ta có $\dfrac{NI}{AL} = \dfrac{IQ}{QA}$ ( do NI // AL ) (1)
lại có $\dfrac{AL}{AR}= \dfrac{AP}{AR}=\dfrac{PJ}{JR}$ (tc phân giác ) (2)
lấy (1) nhân (2) theo vế suy ra $\dfrac{NI.AL}{AL.AR}= \dfrac{IQ.PJ}{QA.JR}$
thu gọn ta có $\dfrac{NI}{AR} = \dfrac{IQ.PJ}{QA.JR}$
mà $\dfrac{NI}{AR}= \dfrac{JI}{JR}$ (do NI // AR ) nên $\dfrac{JI}{JR}= \dfrac{IQ.PJ}{QA.JR}$
rút gọn ta có $\dfrac{JI}{JP} =\dfrac{ IQ}{QA}$ suy ra QJ // AP mà PK AP nên PK QJ
suy ra J là trực tâm tam giác QPK nên PR QK
AL ở đâu vậy?
#4
Đã gửi 11-10-2017 - 21:41
AL ở đâu vậy?
Nhìn là biết L là giao của AC và PQ rồi
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh