Đến nội dung

Hình ảnh

Netherlands IMO Team Selection Tests 2014

tst 2014 tst imo tst

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

IMO TST I 

Ngày 6 tháng 6 năm 2014

Bài 1. Tìm cặp số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^2+b|a^2b+a$ và $b^2-a|ab^2+b$.

Bài 2. Cho $\triangle ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $D$ là điểm nằm trên cạnh $AB$. $AM$ cắt $CD$ tại $E$. Gỉa sử rằng $|AD|=|DE|$. Chứng minh rằng $|AB|=|CE|$.

Bài 3. Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ với $a+bc,b+ac$ và $a+b$ là các số khác $0$ thỏa mãn $$\frac{1}{a+bc}+ \frac{1}{b+ac}= \frac{1}{a+b}.$$

Chứng minh rằng $\sqrt{(c-3)(c+1)}$ là số hữu tỉ.

Bài 4. Cho $\triangle ABC$ với $|AC|=2|BA|$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. $D$ là giao điểm của phân giác góc $A$ với $BC$. $E$ là hình chiếu của $O$ tới $AD$ và lấy $F \ne D$ là điểm trên $AD$ thỏa mãn $|CD|=|CF|$. Chứng minh rằng $\angle EBF= \angle ECF$.

Bài 5. Trên $2014^2$ hình vuông nhỏ của bảng ô vuông $2014 \times 2014$ đặt một bóng đèn. Bóng đèn có thể sáng hoặc không sáng. Lúc bắt đầu, có một số bóng đèn sáng. Một bước di chuyển yêu cầu chọn một hàng hoặc một cột mà có ít nhất $1007$ bóng đèn đang sáng và thay đổi $2014$ bóng trên hàng hoặc cột đó (từ sáng thành không sáng và từ không sáng thành sáng). Tìm số nguyên không âm $k$ nhỏ nhất thỏa mãn trong mỗi tình huống bắt đầu nào cũng luôn có giới hạn những di chuyển để nhiều nhất $k$ bóng sáng.

 

IMO TST II

Ngày 7 tháng 6 năm 2014

Bài 1. Cho $ f:\mathbb{Z}_{>0}\rightarrow\mathbb{R} $ là hàm số sao cho với mọi $n>1$ luôn có ước nguyên tố $p$ của $n$ thỏa mãn $$f(n)= f \left( \frac np \right) -f(p).$$

Hơn nữa, cho biết rằng $f(2^{2014})+f(3^{3015})+f(5^{2016})=2013$. Tính $f(2014^2)+f(2015^3)+f(2016^5)$.

Bài 2. Hai tập $A$ và $B$ là hai tập con của tập các số nguyên dương. Tổng của bất kì phần tử của hai tập $A$ là phần tử của tập $B$. Thương của hai phần tử thuộc tập $B$ (lấy số lớn chia số bé) là phần tử của tập hợp $A$. Xác định giá trị lớn nhất các phần tử của $A \cup B$.

Bài 3. Cho $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Đường qua $A$ vuông góc với $AC$ và đường qua $B$ vuông góc với $BC$ cắt nhau tại $D$. Đường tròn tâm $C$ đi qua $H$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ tại $E$ và $F$. Chứng minh $|DE|=|DF|=|AB|$.

Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn $p^{q+1}+q^{p+1}$ là số chính phương.

Bài 5. Cho $P(x)$ là đa thức có bậc $n \le 10$ với hệ số nguyên sao cho với mọi $k \in \{ 1,2, \cdots , 100 \}$ luôn tồn tại số nguyên $m$ sao cho $P(m)=k$. Hơn nữa, cho biết rằng $|P(10)-|P(0)|<1000$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k$ luôn tồn tại số nguyên $m$ thoả mãn $P(m)=k$.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
mnguyen99

mnguyen99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 696 Bài viết

 

IMO TST I 

Ngày 6 tháng 6 năm 2014

Bài 1. Tìm cặp số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^2+b|a^2b+a$ và $b^2-a|ab^2+b$.

 

ĐK1:$a^{2}b+a\vdots a^{2}+b\Leftrightarrow b(a^{2}+b)-b^{2}+a\vdots a^{2}+b\Leftrightarrow a-b^{2}\vdots a^{2}+b$

ĐK2:$ab^{2}+b\vdots b^{2}-a\Leftrightarrow a(b^{2}-a)+a^{2}+b\vdots b^{2}-a\Leftrightarrow a^{2}+b\vdots b^{2}-a$

ta có 2 TH:

 TH1:$a^{2}+b=b^{2}-a\Leftrightarrow a^{2}+a=b^{2}-b\Leftrightarrow 4a^{2}+4a+1=4b^{2}-4b+1\Leftrightarrow (2a+1)^{2}=(2b-1)^{2}$

$\Leftrightarrow a+1=b hoặc a=-b$

TH2:$a^{2}+b=a-b^{2}\Leftrightarrow a^{2}-a=-b^{2}-b\Leftrightarrow 4a^{2}-4a+1=-4b^{2}-4b-1+2\Leftrightarrow (2a-1)^{2}=-(2b+1)^{2}+2$

Đoạn còn lại mọi người làm nhé.


THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$??? 

 

TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tst 2014, tst, imo tst

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh