Ngày 1.
Bài 1. Có thể đặt các số $0,1,2, \cdots, 9$ thành một hình tròn sao cho tổng ba số liền nhau là a) $13$ b) $14$ c) $15$ hay không ?
Bài 2. Cho các số hữu tỉ $r,q$ và $n$ thoả mãn $ \frac{1}{r+qn}+\frac{1}{q+rn}=\frac{1}{r+q} $. Chứng minh rằng $\sqrt{ \frac{n-3}{n+1}}$ là số hữu tỉ.
Bài 3. Cho $B$ và $C$ là hai điểm cố định trên đường tròn tâm $O$ mà không đối nhau qua $O$. Cho $A$ là một điểm di động trên đường tròn khác $B$ và $C$ và không thuộc đường trung trực của $BC$. Cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$, $M,N$ thứ tự là trung điểm của $BC$ và $AH$. Đường thẳng $AM$ cắt đường tròn tại $D$ và $NM$ cắt $OD$ tại $P$. Xác định tập hợp điểm $P$ khi $A$ di chuyển trên đưởng tròn.
Ngày 2.
Bài 1. Cho $(x_n)$ là dãy các số nguyên dương xác định bởi $x_1=2$ và $x_{n+1}=2x_n^3+x_n$ với mọi số nguyên $n \ge 1$. Xác định $k$ lớn nhất sao cho $5^k|x_{2014}^2+1$.
Bài 2. Cho $M$ là tập các số nguyên có dạng $a^2+13b^2$ với $a,b$ là hai số nguyên phân biệt.
(i) Chứng minh rằng tích của 2 phần tử thuộc $M$ thì cũng là phần tử của $M$.
(ii) Xác định, lí giải, nếu tồn tại cặp số nguyên $(x,y)$ thoả mãn $x+y \not\in M$ và $x^{13}+y^{13} \in M$.
Bài 3. $60$ điểm nằm trong một đường tròn bán kính $1$. Chứng minh rằng tồn tại điểm $V$ trên đường tròn sao cho tổng khoảng cách từ $V$ đến $60$ điểm bé hơn $80$.
