Đến nội dung

Hình ảnh

$m^{2} + f\left ( n \right ) | mf\left ( m \right )+ n$

- - - - - phương trình hàm imo olympic

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
vittoanhoc

vittoanhoc

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$  thỏa mãn:

$m^{2} + f\left ( n \right ) | mf\left ( m \right )+ n$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}$



#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$  thỏa mãn:

$m^{2} + f\left ( n \right ) | mf\left ( m \right )+ n$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}$

Lời giải. Đặt $n+mf(m)=k \left( m^2+f(n) \right)=km^2+ k \cdot f(n)$.

Với $m=0$ thì $n=k \cdot f(n)$. Do đó $m^2k=mf(m)$. Mặt khác $m=k \cdot f(m)$ nên $m^2k^2=m^2$ hay $k^2=1$. Vậy $f(m)=m$ hoặc $f(m)=-m$. Để ý rằng $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ nên chỉ có thể $f(m)=m$. Thử lại thấy thoả mãn.

Vậy $f(m)=m, \; \forall m \in \mathbb{N}$.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Lời giải. Đặt $n+mf(m)=k \left( m^2+f(n) \right)=km^2+ k \cdot f(n)$.

Với $m=0$ thì $n=k \cdot f(n)$. Do đó $m^2k=mf(m)$. Mặt khác $m=k \cdot f(m)$ nên $m^2k^2=m^2$ hay $k^2=1$. Vậy $f(m)=m$ hoặc $f(m)=-m$. Để ý rằng $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ nên chỉ có thể $f(m)=m$. Thử lại thấy thoả mãn.

Vậy $f(m)=m, \; \forall m \in \mathbb{N}$.

Em giải chưa đúng rồi. Gía trị $k$ ở đây có thể thay đổi theo từng cặp giá trị $(m,n)$ thay vào. Lời giải của em vô tình thừa nhận : Gía trị của $\frac{mf(m)+n}{m^2+f(n)}$ luôn là một hằng số nguyên với mọi giá trị tự nhiên $(m,n)$.

 

Có thể giải như sau :

 

Lời giải :

 

Trong $(1)$ cho $m=0$ : 

$$f(n)\mid n,\;\forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow n\geq f(n),\;\forall n\in \mathbb{N}$$

Trong $(1)$ lại cho $n=0$ :

$$m^2+f(0)\mid mf(m),\;\forall m\in \mathbb{N}\Rightarrow mf(m)\geq m^2+f(0)\geq m^2,\;\forall m\in \mathbb{N}\Rightarrow f(m)\geq m,\;\forall m\in \mathbb{N}$$

Suy ra hàm duy nhất thoả đề là $f(n)=n,\;\forall n\in \mathbb{N}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 10-07-2015 - 19:52

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm, imo, olympic

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh