Đến nội dung

Hình ảnh

cmr $\sum x^3\leq 1+\frac{1}{2}(\sum x^4)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
killerdark68

killerdark68

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 266 Bài viết

1/cho a,b>0 và a+b=1 Cmr $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})^2\geq 2\sqrt{2}$

2/cho x,y,z $\geq$ 0 và x+y+z=2.cmr $\sum x^3\leq 1+\frac{1}{2}(\sum x^4)$

3/cho a,b,c>0 và abc=a+b+c Cmr $\sum \frac{bc}{a(1+bc)}\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$ (dùng bdt AM-GM)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi killerdark68: 29-07-2014 - 08:36


#2
megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

1/cho a,b>0 và a+b=1 Cmr $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})^2\geq 2\sqrt{2}$

 

Ta có : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )^{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}+2= \frac{1-b+a}{a}+\frac{1-a+b}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1-\left ( a-b \right )^{2}}{ab}}= 2\sqrt{\frac{1-\left ( a^{2}+b^{2} \right )+2ab}{ab}}= 2\sqrt{2}$



#3
killerdark68

killerdark68

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 266 Bài viết

4/cho a,b,c,d,e,f>0 cmr $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+f}+\frac{e}{f+a}+\frac{f}{a+b}\geq 3$



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

2/cho x,y,z $\geq$ 0 và x+y+z=2.cmr $\sum x^3\leq 1+\frac{1}{2}(\sum x^4)$

https://diendantoanh...-1frac12a4b4c4/


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#5
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

3/cho a,b,c>0 và abc=a+b+c Cmr $\sum \frac{bc}{a(1+bc)}\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$ (dùng bdt AM-GM)

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $xy+yz+zx=1$ và $VT=\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{z}{xy+1}$

Áp dụng Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{z}{xy+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3xyz+(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^3}{3xyz(x+y+z)+(x+y+z)^2}\geqslant \frac{(x+y+z)^3}{(xy+yz+zx)^2+(x+y+z)^2}=\frac{(x+y+z)^3}{(x+y+z)^2+1}$

Đặt $t=x+y+z\geqslant \sqrt{3(xy+yz+zx)}=\sqrt{3}$

Khi đó: $\frac{t^3}{t^2+1}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{(t-\sqrt{3})(4t^2+\sqrt{3}t+3)}{4(t^2+1)}\geqslant 0\Rightarrow \frac{t^3}{t^2+1}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh