Chủ đề này có 1 trả lời

[maitram]

Cho ma trận $A=[a_{ij}]$ vuông cấp $n$ , $tr(A)\neq0$ và thỏa mãn $a_{ik}a_{kj}=a_{kk}a_{ij}$, $\forall i,j,k$. Chứng minh rằng $A$ chéo hóa được.

[Heuristic]

Cho ma trận $A=[a_{ij}]$ vuông cấp $n$ , $tr(A)\neq0$ và thỏa mãn $a_{ik}a_{kj}=a_{kk}a_{ij}$, $\forall i,j,k$. Chứng minh rằng $A$ chéo hóa được.

 

$a_{ik}a_{kj}=a_{kk}a_{ij}$ suy ra $\sum_k a_{ik}a_{kj}=\sum_k a_{kk}a_{ij}$ hay $A^2=tr(A) A$. Xét $P=\frac{A}{tr(A)}$ thì $P^2=P$. Chứng minh được $V=Im(P)\oplus Ker(P)$. Sau đó chỉ cần chọn hệ cơ sở của $Im(P)$ và $Ker(P)$, hợp lại ta được cơ sở chéo hóa của $P$, chính là cơ sở chéo hóa của $A$.