USA USAMO 2014
Ngày 1 : 29/4/2014
$\boxed 1$ Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $b-d\geq 5$ và tất cả các số $x_1,x_2,x_3,x_4$ thuộc đa thức$P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$
$\boxed 2$ Gọi $\mathbb{Z}$ là tập hợp tất cả các số nguyên . Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn : $xf(2f(y)-x)+y^2f(2x-f(y))=\frac{f(x)^2}{x}+f(yf(y))$
với $x,y\in\mathbb{Z},x\neq 0$
$\boxed 3$ Chứng minh rằng : Có vô hạn tập hợp các điểm $\dots,\; P_{-3},\; P_{-2},\; P_{-1},\; P_0,\; P_1,\; P_2,\; P_3,\;\dots$ trên mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện sau : Bất kỳ 3 số nguyên $a,b,c$ phân biệt và 3 điểm $P_a,P_b,P_c$ thẳng hàng khi và chỉ khi $a+b+c=2014$
Ngày 2 : 30/4/2014
$\boxed 4$ Gọi $k$ là số nguyên dương. Có 2 người chơi $A$ và $B$ chơi trên 1 hệ thống gồm vô số ô lưới hình lục giác đều. Ban đầu tất cả các ô lưới đều trống, sau đó các người chơi thay nhau di chuyển các ô. $A$ là người di chuyển đầu tiên. Trong lượt di chuyển của $A$, anh ấy chọn 2 ô hình lục giác đều trống gần kề nhau và đưa đi một truy câp (counter) (*) trong cả hai . Trong lượt của $B$ anh ấy chọn bất kỳ 1 truy cập (counter) trong bảng và loại bỏ. Nếu bất cứ lúc nào có $k$ ô liên tiếp trong 1 đường chứa 1 truy câp, và $A$ thắng.Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ mà $A$ không thể giành chiến thắng trong một số hữu hạn di chuyển, hoặc chứng minh rằng không có giá trị tối thiểu như vậy tồn tại.
$\boxed 5$ Cho $\Delta ABC$ với trực tâm $H$ và $P$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AHC$ với đường phân giác trong của $\widehat{BAC}$. Gọi $X$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta APB$ và $Y$ là trực tâm $\Delta APC$. Chứng minh rằng : độ dài đoạn $XY$ bằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
$\boxed 6$ Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $c>0$ thỏa mãn : Nếu $a,b,n$ là các số nguyên dương sao cho $\gcd(a+i, b+j)>1$ với mọi $i, j\in\{0, 1,\ldots n\}$ thì $\min\{a, b\}>c^n\cdot n^{\frac{n}{2}}.$
P/s: (*) counter : mk dịch chưa sát nghĩa lắm, m,n cố gắng diễn đạt theo ý riêng của mỗi người nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 30-07-2014 - 15:24
