Chủ đề này có 5 trả lời

[killerdark68]

cho a,b,c$\geq 0$ và a+b+c=2.cmr $a^3+b^3+c^3\leq 1+\frac{1}{2}(a^4+b^4+c^4)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi killerdark68: 01-08-2014 - 07:10

[quangnghia]

1/2 đó nằm riêng hả bạn

[killerdark68]

là sao

[Rikikudo1102]

ý bạn ấy là 

$\frac{1}{2}a^4$ hay $\frac{1}{2}(a^4+b^4+c^4)$

[killerdark68]

ý bạn ấy là 

$\frac{1}{2}a^4$ hay $\frac{1}{2}(a^4+b^4+c^4)$

thì mình đã sửa ở trên ùi mà 

[KietLW9]

cho a,b,c$\geq 0$ và a+b+c=2.cmr $a^3+b^3+c^3\leq 1+\frac{1}{2}(a^4+b^4+c^4)$

Ta có: $1=\frac{(a+b+c)^4}{16}=\frac{[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]^2}{16}\geqslant \frac{4(a^2+b^2+c^2).2(ab+bc+ca)}{16}=\frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}{2}$

$\Leftrightarrow 2\geqslant (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)=a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)+abc(a+b+c)\geqslant a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)=a^3(2-a)+b^3(2-b)+c^3(2-c)\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\leq 1+\frac{1}{2}(a^4+b^4+c^4)$

Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $a,b,c$ có một số bằng 0 và 2 số bằng 1.