Đến nội dung


Hình ảnh

$sinA+sinB+\sqrt{6}sinC\leq \frac{5\sqrt{10}}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 31-07-2014 - 13:40

Chứng minh rằng $sinA+sinB+\sqrt{6}sinC\leq \frac{5\sqrt{10}}{4}$


:lol:Thuận :lol:

#2 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 23-08-2014 - 22:12

Chứng minh rằng $sinA+sinB+\sqrt{6}sinC\leq \frac{5\sqrt{10}}{4}$

Lời giải :

$\sin A +\sin B +\sqrt{6}.\sin C \\ =2.\sin \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+ \sqrt{6}.\sin C\\ = 2.\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+\sqrt{6}.\sin C$

Ta có :$C \in (0;\pi)\Rightarrow 0 \leq \frac{C}{2}\leq \frac{\pi}{2}\Rightarrow \cos \frac{C}{2} >0\\$

Suy ra :$2.\cos \frac{C}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+\sqrt{6}.\sin C\leq 2.\cos \frac{C}{2}+\sqrt{6}.\sin C$

Khảo sát hàm số $f(x)=2\cos \frac{x}{2}+ \sqrt{6}.\sin x, x\in\left [ 0;\pi \right ]\\ f'(x)=-\sin \frac{x}{2}+\sqrt{6}.\cos x=-2\sqrt{6}.\sin ^{2} \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2} +\sqrt{6}\\ f'(x)=0\Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}=\sin \frac {x_{0}}{2} (x_{0}=2\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4})\\ (x\in [0;\pi] \rightarrow \sin \frac{x}{2} >0)$

Nếu $f'(x) >0\Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}<\sin \frac{x_{0}}{2}\Leftrightarrow x<x_{0} (x \in (0;\frac{\pi}{2}))\\$

$f'(x) <0\Leftrightarrow x>x_{0}$
Ta thấy hàm số $f(x)$ khi qua điểm $x_{0}$ thì đổi dấu từ $(+)$ sang $(-)$ nên suy ra $x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số.
$f(0)=2; f(\pi)=0;\\$
$f(x_{0})=2\cos \frac{x_{0}}{2}+2.\sqrt{6}.\sin \frac{x_{0}}{2}.\cos \frac{x_{0}}{2}=2\sqrt{ 1-(\frac{\sqrt{6}}{4})^{2}}+2\sqrt{6}.\frac{\sqrt{6}}{4}.\sqrt{ 1-(\frac{\sqrt{6}}{4})^{2}}=\frac{5.\sqrt{10}}{4}$

Suy ra $f(x) \leq \frac{5\sqrt{10}}{4}.$ Do đó $\sin A +\sin B +\sqrt{6}.\sin C \leq \frac{5\sqrt{10}}{4}.$

Dấu bằng xảy ra khi 

$\cos \dfrac{A-B}{2}=1  \wedge \sin \dfrac{C}{2}=\sin \frac{\sqrt{6}}{4}$
$\Leftrightarrow A=B \wedge C=2\arcsin\dfrac{\sqrt{6}}{4}.$
Chứng minh hoàn tất.
p/s : Bài viết thứ $540$~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 23-08-2014 - 22:14

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh