Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1} &=1 \\ 8^9x^3y^4z^2 &=1 \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fifa: 01-08-2014 - 13:46
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1} &=1 \\ 8^9x^3y^4z^2 &=1 \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fifa: 01-08-2014 - 13:46
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1} &=1 \\ 8^9x^3y^4z^2 &=1 \end{matrix}\right.$
Ta có : $$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1} =1 (1)\\ 8^9x^3y^4z^2 =1 (2)\end{matrix}\right.$$
Áp dụng BĐT AM-GM 8 số :
$$1-\frac{x}{x+1}=\frac{2x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}\Rightarrow \frac{1}{x+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^2y^4z^2}{(x+1)^2(y+1)^4(z+1)^2}}$$
Tương tự : $\Rightarrow \frac{1}{z+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^3y^4z}{(x+1)^3(y+1)^4(z+1)}}$
$$\frac{1}{y+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^3y^3z^2}{(x+1)^3(y+1)^3(z+1)^2}}$$
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left (\frac{1}{x+1} \right )^3\geq 8^3\sqrt[8]{\frac{x^2y^4z^2}{(x+1)^2(y+1)^4(z+1)^2}}^3\\ \left (\frac{1}{z+1} \right )^2\geq 8^2\sqrt[8]{\frac{x^3y^4z}{(x+1)^3(y+1)^4(z+1)}}^2\\ \frac{1}{y+1}^4\geq 8^4\sqrt[8]{\frac{x^3y^3z^2}{(x+1)^3(y+1)^3(z+1)^2}}^4 \end{matrix}\right.\Rightarrow 1\geq 8^9x^3y^4z^2$$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{8}$
Ta có : $$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1} =1 (1)\\ 8^9x^3y^4z^2 =1 (2)\end{matrix}\right.$$
Áp dụng BĐT AM-GM 8 số :
$$1-\frac{x}{x+1}=\frac{2x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}\Rightarrow \frac{1}{x+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^2y^4z^2}{(x+1)^2(y+1)^4(z+1)^2}}$$
Tương tự : $\Rightarrow \frac{1}{z+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^3y^4z}{(x+1)^3(y+1)^4(z+1)}}$
$$\frac{1}{y+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^3y^3z^2}{(x+1)^3(y+1)^3(z+1)^2}}$$
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left (\frac{1}{x+1} \right )^3\geq 8^3\sqrt[8]{\frac{x^2y^4z^2}{(x+1)^2(y+1)^4(z+1)^2}}^3\\ \left (\frac{1}{z+1} \right )^2\geq 8^2\sqrt[8]{\frac{x^3y^4z}{(x+1)^3(y+1)^4(z+1)}}^2\\ \frac{1}{y+1}^4\geq 8^4\sqrt[8]{\frac{x^3y^3z^2}{(x+1)^3(y+1)^3(z+1)^2}}^4 \end{matrix}\right.\Rightarrow 1\geq 8^9x^3y^4z^2$$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{8}$
Bạn ơi, AM-GM thì các số phải không âm nhưng đề bài chưa cho $x,y,z>0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh