Chủ đề này có 4 trả lời

[Phuong Thu Quoc]

1/ Có bao nhiêu cách xếp 5 viên bi đôi một khác nhau vào 3 cái hộp đôi một khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi ( không kể thứ tự các viên bi )

2/ Có bao nhiêu cách xếp $m$ viên bi đôi một khác nhau vào $n$ cái hộp đôi một khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi ( không kể thứ tự các viên bi )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 03-08-2014 - 08:55

[Bui Ba Anh]

*TH1: Có 2 hộp chứa 2 viên bi,1 hộp chứa 1 viên bi

+) Số cách chọn hộp chứa 1 viên bi: 3

+) Số cách chọn bi cho hộp đựng 1 viên bi:5

+) Số cách chọn bi cho 1 trong 2 hộp chứa 1 viên bi: 4C2=6

+) Hộp còn lại có 1 cách chọn bi

=>Số cách chọn bi trong TH này: 3.5.6.1=90 cách

TH2: Có 2 hộp chứa 1 viên bi,1 hộp chứa 3 viên bi

tương tự như trên,số cách chọn bi là 3.10.2.1=60 cách

Vậy tóm lai số cách chọn bi là 60+90=150 cách

[Bui Ba Anh]

2) Bài toán quy về tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình

$x_1+x_2+x_3+....+x_n=m$

đây chính là bài toán chia kẹo euler,có thể tìm rất nhiều cách giải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 06-08-2014 - 06:02

[chanhquocnghiem]

1/ Có bao nhiêu cách xếp 5 viên bi đôi một khác nhau vào 3 cái hộp đôi một khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi ( không kể thứ tự các viên bi )

2/ Có bao nhiêu cách xếp $m$ viên bi đôi một khác nhau vào $n$ cái hộp đôi một khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi ( không kể thứ tự các viên bi )

$1)$

Trước hết tính số cách bỏ $5$ viên bi đôi một khác nhau vào $3$ hộp đôi một khác nhau (có thể có hộp không có bi) $\rightarrow 3^5$

Trừ đi các TH có KHÔNG QUÁ $2$ hộp có bi $\rightarrow -C_{3}^{2}.2^5=-C_{3}^{1}.2^5$

Nhưng như thế thì đã trừ các TH có ĐÚNG $1$ hộp có bi đến $2$ lần nên phải cộng lại số TH này $\rightarrow +C_{3}^{1}.1^5=+C_{3}^{2}.1^5$

Vậy đáp án là $3^5-C_{3}^{1}.2^5+C_{3}^{2}.1^5=150$

 

$2)$

Lập luận tương tự câu $a$, ta có đáp án trong TH tổng quát là :

$C_{n}^{0}.n^m-C_{n}^{1}.(n-1)^m+C_{n}^{2}.(n-2)^m-C_{n}^{3}.(n-3)^m+...=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k.C_{n}^{k}.(n-k)^m$

(trong đó $m,n\in \mathbb{N}^*$ và $m\geqslant n$)

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu cách xếp 5 viên bi đôi một khác nhau vào 3 cái hộp đôi một khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi ( không kể thứ tự các viên bi )
2/ Có bao nhiêu cách xếp $m$ viên bi đôi một khác nhau vào $n$ cái hộp đôi một khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi ( không kể thứ tự các viên bi )

Cách khác :
1/ Ta có hàm sinh :$$ f(x)=\left ( e^x-1 \right )^3=e^{3x}-3e^{2x}+3e^x-1=\sum_{m\geq0}\left ( 3^m-3.2^m+3 \right )\frac {x^m}{m!}-1$$ Với m=5 ta có :
$3^5-3.2^5+3=150$
2/ Từ công thức tính số Sterling loại hai $S(m,n)$ ta suy ra số cách xếp thỏa yêu cầu là :
$$n!S(m,n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom {n}{k}k^m$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 31-07-2023 - 22:06