Chủ đề này có 4 trả lời

[fifa]

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:

$a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\leq 5$

 

[Bui Ba Anh]

bài này dấu bằng xảy ra khi $a=0;b=1;c=2$ và các hoán vị thì phải mà $a;b;c>0$ thì sao mà làm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 07-08-2014 - 06:54

[25 minutes]

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:

$a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\leq 5$

Áp dụng AM-GM ta có 

  $a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leqslant \frac{a(b+1+b^2-b+1)}{2}=\frac{a(b^2+2)}{2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

  $\sum \frac{a(b^2+2)}{2}\leqslant 5$

$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant 4$, sử dụng $a+b+c=3$

BĐT trên luôn đúng khi sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau

             $ ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \frac{4(a+b+c)^3}{27}=4\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2 \leqslant 4$

Vậy ta có đccm

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và hoán vị

[dshung1997]

 

             $ ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \frac{4(a+b+c)^3}{27}=4\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2 \leqslant 4$

 

Dấu = xảy ra khi nào và bạn cm bđt này nhá. cái này đâu quen thuộc  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dshung1997: 16-08-2014 - 21:47

[PolarBear154]

Áp dụng AM-GM ta có 

  $a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leqslant \frac{a(b+1+b^2-b+1)}{2}=\frac{a(b^2+2)}{2}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

  $\sum \frac{a(b^2+2)}{2}\leqslant 5$

$\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leqslant 4$, sử dụng $a+b+c=3$

BĐT trên luôn đúng khi sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau

             $ ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \frac{4(a+b+c)^3}{27}=4\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2 \leqslant 4$

Vậy ta có đccm

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và hoán vị

Em nghĩ dấu = ở BĐT cuối xảy ra thì các bất đẳng thức trước đó ta đánh giá cũng phải đảm bảo đk dấu = chứ nhỉ? D

Trong khi dấu "=" ở BĐT AM-GM chỉ xảy ra khi biến =0 hoặc 2 chứ đâu có =1 ạ?