Chủ đề này có 6 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh rằng:$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$

[megamewtwo]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh rằng:$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$

Ta có : $\frac{2}{2-a}-a^{2}-1= \frac{2+\left ( a^{2}+1 \right )\left ( a-2 \right )}{2-a}= \frac{a\left ( a-1 \right )^{2}}{2-a}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq \frac{1}{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \right )= 3$

[Riann levil]

Ta có : $\frac{2}{2-a}-a^{2}-1= \frac{2+\left ( a^{2}+1 \right )\left ( a-2 \right )}{2-a}= \frac{a\left ( a-1 \right )^{2}}{2-a}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq \frac{1}{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \right )= 3$

Bạn có thể giải thích cho mình ý tưởng của bạn không? xuất phát từ đâu mà bạn lại làm như vậy? lời giải của bạn có vẻ không được tự nhiên cho lắm

[nguyenhongsonk612]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh rằng:$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$

Bạn đó đã tìm ra BĐT phụ sau để chứng minh kiểu như thế (uct)

Chứng minh $1$ BĐT này, các BĐT khác chứng minh tương tự 

$\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^2+1}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Từ đó có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 06-08-2014 - 19:55

[Riann levil]

Bạn đó đã tìm ra BĐT phụ sau để chứng minh kiểu như thế (uct)

Chứng minh $1$ BĐT này, các BĐT khác chứng minh tương tự 

$\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^2+1}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Từ đó có đpcm

Vậy làm thế nào để tìm được bất đẳng thức phụ.Phải chăng bạn ấy đã phải đi mò??

[Viet Hoang 99]

Vậy làm thế nào để tìm được bất đẳng thức phụ.Phải chăng bạn ấy đã phải đi mò??

phương pháp UCT
 UCT(Undetermined Coefficient).pdf   321.24K   79 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 06-08-2014 - 20:28

[KietLW9]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh rằng:$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$

Xét hàm số: $f(c)=\frac{1}{2-c}-1-\frac{1}{2}c^2,c \epsilon (0,\sqrt{3})$

$f'(c)=\frac{1}{(2-c)^2}-c=0\Rightarrow c=\frac{3-\sqrt{5}}{2}, c=1,c=\frac{3+5\sqrt{5}}{2}(L)$

Lập bảng biến thiên ta có $f(c)\geqslant f(1)=\frac{-1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2-c}\geq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}c^2$

Áp dụng cho a, b, c ta được $VT\geqslant \frac{3}{2} +\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)=3$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1