Về định lý cuối cùng của Fermat và Andrew Wiles

Như nhiều người trong chúng ta đã biết rằng "cuối cùng” định lí cuối cùng của Fermat, được đặt ra cách đây hơn 350 năm, đã được chứng minh một cách chặt chẽ, khẳng định rằng phương trình

$$(1) x^{n}+ y^{n} = z^{n}, xyz ≠ 0, n ≥ 3 $$

không có nghiệm nguyên $(x,y,z)$. Do được phát biểu đơn giản và do trên con đường tìm tòi giải quyết nó đã sinh ra nhiều hướng toán học, bài toán trở thành bài toán nổi tiếng nhất trong toán học. Đã có nhiều bài báo tổng quan, cả chuyên môn lẫn không chuyên, đề cập đến lịch sử của định lí này, cách chứng minh, phương hướng và triển vọng phát triển của những vấn đề có liên quan. Gần đây đã có hàng loạt sách chuyên khảo dành cho chuyên gia trong lĩnh vực lí thuyết số và hình học đại số trình bày chi tiết những lí thuyết hiện đại của toán học có liên quan đến bài toán Fermat và lời giải của Andrew Wiles với sự cộng tác của một học trò cũ của anh là Richard Taylor. Tuy nhiên có một vài tư liệu hay liên quan đến định lí Fermat và Wiles có lẽ chưa được biết đến rộng rãi mà người viết bài này muốn chia sẻ với bạn đọc.

Andrew Wiles sinh ra tại thành phố Cambridge, Vương quốc Anh, ngày 11 tháng 4 năm 1953. Lúc học phổ thông, một hôm hoàn toàn tình cờ, anh vớ được một cuốn sách về số học nói về định lí cuốí cùng của Fermat. Thế là từ đó định lí Fermat đeo đuổi anh suốt quãng đời niên thiếu và trưởng thành. Cũng như mọi thanh thiếu niên say mê toán trên trái đất này, anh đã thử tìm lời giải của bài toán tưởng chừng đơn giản nhưng lại cực kì hóc búa này. Song lời giải luôn tuột khỏi anh và điều đó lại càng làm cho anh say mê nó. Và anh cũng sớm nhận ra rằng để có được lời giải của bài toán đó cần phải có một kiến thức sâu rộng về lí thuyết số và những ngành liên quan. Năm 1971 anh vào học tại trường Đại học Oxford nổi tiếng của Anh quốc, tại Merton College và tốt nghiệp năm 1974. Cùng năm đó anh vào học tại Clare College của ĐHTH Cambridge và nhận bằng Tiến sĩ (Ph.D.) tại đó năm 1977. Trong thời gian làm nghiên cứu sinh dưới sự hướng dẫn của giáo sư John Coates, anh đã nhận được những kết quả rất độc đáo và sâu sắc về số học của đường cong elliptic, trong khuôn khổ của một chương trình rộng lớn liên quan đến giả thuyết của Birch và Swinnerton Dayer. Những kết quả đó đã được đăng năm 1977 trong một bài báo viết chung với J. Coates trong Inventiones Mathematicae, một trong những tạp chí có uy tín lớn nhất trong giới toán học.

Từ năm 1977 đến 190 anh là nghiên cứu viên (Junor Research Fellow) tại Clare College và có hàm Trợ lí giáo sư mang tên Benjamin Peirce tại trường Đại học Harvard nổi tiếng của Mỹ. Năm 1981 anh là giáo sư thỉnh giảng tại Sonderforschungsbereich: Theoretische Mathematik (Phòng nghiên cứu đặc biệt về toán lí thuyết) của trường Đại học Bonn (CHLB Đức) và sau đó là thành viên của Institute for Advanced Study (Học viện nghiên cứu cấp cao) tại Princeton (Mỹ), một trong những viện nghiên cứu có uy tín lớn nhất trên thế giới. Năm 1982 anh trở thành giáo sư chính thức tại Đại học Princeton và mùa xuân năm đó anh là giáo sư thỉnh giảng tại trường Đại học Paris 11, Orsay (Pháp). Với học bổng Guggenheim anh đã đến nghiên cứu tại Institut des Hautes Etudes Scientifiques và Ecole Normale Superieure (1985 - 1986) (Pháp). Từ 1988 đến 1990 anh giữ hàm giáo sư nghiên cứu của Hội Khoa học Hoàng gia và năm 1989 được bầu làm thành viên của Hội khoa học nổi tiếng này. Năm 1994 A. Wiles được bầu làm thành viên của American Academy of Arts and Sciences (Viện Hàn lâm các khoa học và nghệ thuật của Mỹ) và giữ hàm giáo sư mang tên Higgins tại ĐHTH Princeton.

Sau khi giải quyết được bài toán Fermat, tài năng của anh được thế giới biết đến và công nhận một cách rộng rãi. Anh được trao hàng loạt giải thưởng khoa học danh tiếng như Schock Prize (1995), Wolf Prize (1995), Ostrowski Prize (1996), Commonwealth Award (1996), National Academy of Sciences Award (1996), Cole Prize in Number Theory (1997), Wolfskehl Prize (1997), King Faisal International Prize in Science (1998) ...

Điểm lại những công trình của A. Wiles (tính đến ngày 9/3/1998, toàn bộ bao gồm 18 công trình) ta thấy anh viết không nhiều song có thể nói hầu như mỗi công trình của anh (hoặc cùng viết chung với các nhà toán học khác) đều mang tính chất nền tảng và là lời giải có tính triệt để cao của những giả thuyết, bài toán cơ bản quan trọng nhất của lý thuyết số hiện đại. Nhiều người làm toán chúng ta đều biết rằng rất nhiều bài toán, giả thuyết mà chúng ta đang quan tâm giải quyết được coi như là trường hợp riêng của những bài toán, giả thuyết tổng quát hơn, bao trùm hơn ... Suy nghĩ của Wiles luôn hướng về những lời giải nhưvậy. Vì thế mỗi công trình đã ra của Wiles đều được đăng trong những tạp chí có uy tín nhất. Ví dụ nhưanh đã đăng 6 bài báo trong Annals of Mathematics, 4 bài báo trong Inventiones Mathematicae(mà mọi người trong chúng ta đều tự hào nếu nhưcó một bài báo đăng trong các tạp chí đó). Điều quan trọng hơn cả là Wiles luôn tìm ra lời giải của những bài toán, giả thuyết then chốt nhất, sâu sắc nhất trong lý thuyết số hiện đại. Vì vậy trước ngưỡng cửa của lời giải cho bài toán Fermat, A. Wiles đã được trang bị bằng những kỹ thuật tinh tế nhất của lý thuyết Iwasawa (anh đã chứng minh giả thuyết Iwasawa năm 1990) trong lý thuyết số học các trường cyclotomic (chia đường tròn), lý thuyết các dạng modular, lý thuyết biểu diễn nhóm Galois và lý thuyết biểu diễn p-adic. Cho nên có thể nói A. Wiles đã kết hợp được nhuần nhuyễn và cực kì sáng tạo tất cả những tinh hoa của toán học thế kỉ 20 để giải quyết bài toán Fermat.

Bây giờ chúng ta điểm lại vài nét chính trong lịch sử chứng minh định lí Fermat. Như chúng ta đã biết Fermat viết vào lề một quyển sách số học rằng ông tìm ra lời giải cho bài toán $(1)$ song không có chỗ để viết vào. Lịch sử toán học đã chứng tỏ rằng Fermat đã chứng minh được định lí cuối cùng của mình cho trường hợp $n = 4$ bằng cách xây dựng lí thuyết đường cong elliptic. Song không có mối liên hệ hiển nào giữa đường cong elliptic và phương trình Fermat $(1)$ bậc cao hơn, nên đường cong elliptic đã không đóng một vai trò nào trong 350 năm sau đó trong việc chứng minh định lí Fermat.

Nhà toán học Pháp Y. Hellegouarch trong bài báo đăng trong Acta Arithmetica (1974) đã là người đầu tiên trong suốt thời gian đó tìm ra một số liên hệ giữa định lí Fermat và đường cong elliptic. Tuy nhiên mãi đến năm 1987 G. Frey đã giả định và mô tả rằng nếu $(a,b,c)$ với $abc \neq 0, n \geq3$ là nghiệm của $a^{n}+ b^{n} = c^{n}$,thì đường cong elliptic $y^{2}=x(x – a^{n})(x + b^{n})$ là không modular. Điều đó trái với giả thuyết Shimura Taniyama (một trong những giả thuyết sâu sắc và quan trọng nhất của lí thuyết số hiện đại, nói rằng mọi đương cong elliptic đều là modular). Sau đó Serre (1985-1986) đã đưa ra một giả thuyết đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh định lí Fermat. J.-P. Serre đã nêu ra (và cùng với J. F. Mestre kiểm tra trên một số ví dụ cụ thể) một giả thuyết về dạng modular và biểu diễn Galois modulo $p$. Nói riêng Serre đã chứng minh rằng một trường hợp riêng của giả thuyết đó, gọi là giả thuyết Epsilon cùng với giả thuyết Shimura Taniyama sẽ kéo theo Định lí Fermat. Ngay cùng năm đó (1986), K. Ribet, một trong những nhà toán học Mỹ nổi tiếng, dựa trên ý tưởng của Mazur đã chứng minh được giả thuyết Epsilon của Serre. Thực ra, K. Ribet còn gặp khó khăn trong một chỗ mấu chốt. Tuy nhiên trong một buổi trao đổi giữa ông ta với Mazur trong một tiệm cà phê sinh viên tại ĐH Berkeley, Mazur chỉ ra rằng lí thuyết của Ribet đủ để giải quyết điểm then chốt đó.

A. Wiles sau khi nghe tin giả thuyết Epsilon đã được chứng minh đã hiểu ngay rằng “cán cân lực lượng” đã nghiêng hẳn về những phương pháp có liên quan đến giả thuyết Shimura Taniyama. Về sau anh tâm sự rằng từ thời điểm đó trở đi cả cuộc đời anh thay đổi hẳn. "Tôi không muốn nó tuột khỏi tay tôi lần nữa”. Từ lúc đó A. Wiles đã đề ra một chương trình để chứng minh giả thuyết Shimura-Taniyama cho các đường cong elliptic nửa ổn định - và ``chỉ cần” thế là có thể chứng minh định lí Fermat. Cùng trong thời gian đó, Kolyvagin và Rubin đã độc lập phát triển một lí thuyết gọi là hệ Euler. Nhiều nhà toán học đã đánh giá phát kiến này có tính chất cách mạng trong lí thuyết số học hiện đại nói chung và số học đường cong elliptic nói riêng. Một cách tự nhiên, thoạt đầu A. Wiles cũng thử áp dụng kĩ thuật của lí thuyết Iwasawa để chứng minh định lí Fermat. Tuy nhiên có một vài cản trở trong trường hợp nghiên cứu các biểu diễn $l$-adic với $l = 2$. Đồng thời lại nảy sinh một số vấn đề liên quan đến giao đầy đủ trong Đại số giao hoán, nên khi nghiên cứu mở rộng phương pháp của M. Flach - một trong những bước then chốt tiếp theo trong chương trình chứng minh của mình - anh quyết định áp dụng lí thuyết hệ Euler. Đến mùa hè 1993, mọi việc dường nhưđã đâu vào đấy. Ngày 23/6/1993, trong phút cuối cùng của bài giảng thứ 3 của mình tại Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences (Viện Toán học mang tên Niutơn) tại Cambridge, A. Wiles chậm rãi viết trên bảng một hệ quả: Định lí Fermat được chứng minh.

Ngay sau đó cả thế giới toán học và đại chúng hân hoan chào đón tin mừng này. Phần lớn tin tưởng vào sự đúng đắn của chứng minh, nhưng một số do thận trọng vẫn tỏ ý hoài nghi. A. Wiles đã gửi bài báo với các chứng minh chi tiết đến tạp chí Inventiones Mathematicae đã nêu ở trên. Đồng thời anh gửi cho người bạn thân của mình Nicolas Katz và là một nhà toán học Mỹ có uy tín tại Princeton một bản thảo dày cộp để lấy ý kiến. Trong suốt hai tháng hè 7-8/1993, Katz ngồi đọc bản thảo của Wiles, kiểm tra lại từng câu, từng chữ. Thỉnh thoảng ông ta e-mail lại cho Wiles yêu cầu giải thích rõ những chi tiết chưa được viết ra, hoặc những luận điểm chưa sáng tỏ. Sau khi Wiles trả lời, mọi việc xem ra suôn sẻ. Song đến một hôm, Katz yêu cầu giải thích những kết quả liên quan đến hệ Euler mà Wiles xây dựng mà ông cho là chưa chặt chẽ, thậm chí ... không tồn tại! Wiles trả lời rằng như thế, ..., nhưthế, song sau mỗi lần trả lời Katz lại viết : ``tôi vẫn không hiểu!” Đến lần thứ ba thì Wiles thấy quả thực có vấn đề. Và thế là đến mùa thu năm 1993, Wiles nhận thấy rằng việc sử dụng hệ Euler (để mở rộng phương pháp Flach) là chưa đầy đủ, và có thể là sai. Một số nhà toán học khác như Luc Illusie cũng nhận ra vấn đề tương tự.

Tin đồn, tiếng bàn tán xì xào lại loang ra, và không ít người đã nghĩ là phải bắt đầu lại từ đầu. Nhiều người muốn hỏi, chất vấn Wiles về sự thực của vấn đề nhưng Wiles hoàn toàn im lặng. Hơn thế nữa, hầu như không có ai có bản thảo công trình của Wiles (trừ các phản biện và rất ít bạn thân mà Wiles nhờ đọc hộ), nên đã có bài báo viết rằng nhưthế là không trung thực... Đầu năm 1994, trước đòi hỏi của dư luận, A. Wiles có gửi e-mail ngắn trên INTERNET thông báo một cách rộng rãi rằng chứng minh của mình có lỗ hổng và anh hi vọng sẽ khắc phục được, và sẽ thông báo những bước khắc phục trong một khoá dạy cao học tại ĐH Princeton.

Tuy nhiên, cho đến khi kết thúc khoá cao học, mặc dầu có một số tiến bộ trong việc cải tiến phép chứng minh, Wiles vẫn chưa tìm ra lối thoát. Anh viết: "... tôi vẫn chưa suy nghĩ lại về cách tiếp cận ban đầu mà tôi đã gác lại sang một bên từ hè 1991 vì tôi vẫn cứ nghĩ cách tiếp cận dùng hệ Euler là đúng.”

Tháng giêng 1994, một học trò cũ của Wiles tại Cambridge tên là R. Taylor đã đến cùng hợp sức với Wiles hi vọng chữa lại luận điểm sai trong việc dùng hệ Euler. Đến xuân-hè 1994, sau khi thấy việc sửa chữa không có kết quả, Wiles cùng Taylor bắt đầu quay lại cách tiếp cận cũ của Wiles và cố nghĩ ra luận điểm mới cho trường hợp $l = 2$. Đến tháng 8/1994 họ gặp phải trở ngại không vượt qua nổi....

Không hoàn toàn tin tưởng rằng phương pháp hệ Euler là không sửa được, Taylor đã quay về Cambridge cuối 8/94. Tháng 9/1994, Wiles quyết định xem lại lần cuối cách tiếp cận cũ để tìm ra điều gì là cản trở chủ yếu. Bằng cách đó, ngày 19/9/1994 “tôi - Wiles viết - đã thấy loé lên tia sáng là nếu mở rộng lí thuyết của de Shalit thì có thể dùng nó cùng với đối ngẫu ...” cho các vành Hecke. Và thế là Wiles đã tìm ra cách giải quyết cho điểm mấu chốt cho cách giải mà anh gác lại mấy năm trước. Sau khi thông báo điều đó cho Taylor, hai người lại hợp sức tiến hành nghiên cứu chi tiết phát kiến này và đã hoàn thành bước quyết định còn thiếu, sau đó được công bố trong bài báo viết chung [TW] về một số tính chất của vành Hecke. Và thế là Định lí Fermat được chứng minh hoàn toàn chặt chẽ và được công bố trong bài báo [W].

Nếu ai đó đã xem buổi phỏng vấn [B] trên TV của BBC tháng 11/1997 (xem tại đây) hẳn cũng phải cảm động khi thấy A. Wiles thoạt đầu, do quá xúc động, đã rơm rớm nước mắt không nói nên lời nào khi được yêu cầu kể lại những giai đoạn của việc giải quyết Bài toán FERMAT.

Các bạn thấy đấy nhà toán học đâu phải hoàn toàn khô khan, và làm toán đâu phải không đem lại cảm xúc mãnh liệt.