Chủ đề này có 3 trả lời

[I Love MC]

1)  Cho a,b>0. C/m $\dfrac{a^2b}{2a^3+b^3}+\dfrac{2}{3} \ge \dfrac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}$.

 2) Cho a,b>0. C/m $\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{16}{a+b} \ge 5(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$

[Bui Ba Anh]

2) Chuẩn hóa $a+b=2$,ta viết lại bất đẳng thức

$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}b^{2}}+\frac{16}{a+b}\geq \frac{5(a+b)}{ab}<=>\frac{8-6ab}{a^{2}b^{2}}+8-\frac{10}{ab}\geq 0$

Đặt $ab=t\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}=1$, ta cần chứng minh $\frac{8-6t}{t^{2}}+8-\frac{10}{t}\geq 0 <=> 8-6t+8t^{2}-10t\geq 0<=> t^{2}-2t+1\geq 0<=> (t-1)^2\geq 0$( đúng)

BĐT được chứng minh,dấu $=$ xảy ra <=> $a=b$

Chuẩn thì like

[KietLW9]

1)  Cho a,b>0. C/m $\dfrac{a^2b}{2a^3+b^3}+\dfrac{2}{3} \ge \dfrac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}$.

$\dfrac{a^2b}{2a^3+b^3}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}=\frac{2(a-b)^4(a+b)}{3(2a^3+b^3)(2a^2+b^2)}\geqslant 0$

[KietLW9]

.2) Cho a,b>0. C/m $\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{16}{a+b} \ge 5(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$

$\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{16}{a+b}-5(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})=\frac{(a-b)^4}{a^2b^2(a+b)}\geqslant 0$