Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a}{\sqrt{b^2+3c^2}}\geq \frac{3}{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
fifa

fifa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

$\frac{a}{\sqrt{b^2+3c^2}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3a^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3b^2}}\geq \frac{3}{2}$

 



#2
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

$Holder$ nhé bạn

$(\sum \frac{a}{\sqrt{b^{2}+3c^{2}}})^{2}(\sum a(b^{2}+3c^{2}(2a+b)^{3})\geq (2\sum a^{2}+\sum ab)^{3}$

Cần chứng minh $4(2\sum a^{2}+\sum ab)^{3}\geq 9\sum a(a^{2}+3b^{2})(2a+b)^{3}$

Giả sử $c=min{a;b;c}=>a=c+x;b=c+y(x;y\geq 0)$

đưa về $BĐT$ một biến $c$ $Ac^{4}+Bc^{3}+Dc^{2}+Ec+F\geq 0$

Bằng biến đổi tương đương(khá cực) thì t có được $A,B,D,E,F\geq 0(x;y\epsilon A,B,D,E,F)$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ $Q.E.D$


NgọaLong

#3
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

$\frac{a}{\sqrt{b^2+3c^2}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3a^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3b^2}}\geq \frac{3}{2}$

cách khác đây

áp dụng holder ta có $(\sum \frac{a}{\sqrt{b^2+3c^2}})^2[\sum a(b^2+3c^2 )]\geq (a+b+c)^3$

do đó chỉ cần chứng minh $\frac{(a+b+c)^3}{\sum a(b^2+3c^2)}\geq \frac{9}{4}$

cái này đơn giản bạn tự CM vậy


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 15-08-2014 - 04:30

NgọaLong




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh