Đến nội dung

Hình ảnh

$\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a} \ge \dfrac{3}{3+abc}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Bài này các bạn sử dụng BĐT AM-GM dạng cộng mẫu nhé:

 

Cho a,b,c thuộc đoạn (0;1] CMR:

 $\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a} \ge \dfrac{3}{3+abc}$



#2
CHU HOANG TRUNG

CHU HOANG TRUNG

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 237 Bài viết

Bài này các bạn sử dụng BĐT AM-GM dạng cộng mẫu nhé:

 

Cho a,b,c thuộc đoạn (0;1] CMR:

 $\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a} \ge \dfrac{3}{3+abc}$

$\sum \frac{1}{a+3b}\geq \frac{9}{\sum a+\sum 3a}=\frac{9}{\sum 4a}$

Vì $ 0<a,b,c\leq 1$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c\leq 3 & & \\ abc\leq 1 & & \end{matrix}\right.$

$\sum \frac{1}{a+3b} \geq \frac{9}{4.3}=\frac{3}{4}$
$abc\leq 1 \Leftrightarrow 3+abc\leq 4\Rightarrow \frac{3}{3+abc}\geq \frac{3}{4}$
$\frac{3}{3+abc}\geq \frac{3}{4}$
Vậy  $\Rightarrow $ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 09-08-2014 - 20:50

:like  MATHS   :like

ღ Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 

 

:ukliam2: Học, Học nữa , Học mãi     :ukliam2:

:icon12:  :icon12:  :icon12:

 

   :ukliam2:      My Blog : http://chuhoangtrung....blogspot.com/      :ukliam2:

 


#3
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

 

$\sum \frac{1}{a+3b}\geq \frac{9}{\sum a+\sum 3a}=\frac{9}{\sum 4a}$

Vì $$\left\{\begin{matrix} 0<a\leq 1 &  &  & \\  0<b\leq 1 &  &  & \\  0<c\leq 1 &  &  &  \end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c\leq 3 &  & \\  abc\leq 1 &  &  \end{matrix}\right.$$
$\sum \frac{1}{a+3b} \geq \frac{9}{4.3}=\frac{3}{4}=\frac{3}{3+abc}$

 

$\frac{3}{4}=\frac{3}{3+abc}$ cần xem kĩ lại đoạn này nhé :P (cho dù có là dấu $\geq $)

 

P/s: Gõ $\LaTeX$ thủ công à? Nhìn và nghiên cứu cách sửa nhé

$$\left\{\begin{matrix} 0<a\leq 1 &  &  & \\  0<b\leq 1 &  &  & \\  0<c\leq 1 &  &  &  \end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c\leq 3 &  & \\  abc\leq 1 &  &  \end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-08-2014 - 20:45


#4
xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Hình như bạn giải sai chỗ cuối rồi



#5
CHU HOANG TRUNG

CHU HOANG TRUNG

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 237 Bài viết

 

$\frac{3}{4}=\frac{3}{3+abc}$ cần xem kĩ lại đoạn này nhé :P (cho dù có là dấu $\geq $)

 

P/s: Gõ $\LaTeX$ thủ công à? Nhìn và nghiên cứu cách sửa nhé

$$\left\{\begin{matrix} 0<a\leq 1 &  &  & \\  0<b\leq 1 &  &  & \\  0<c\leq 1 &  &  &  \end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c\leq 3 &  & \\  abc\leq 1 &  &  \end{matrix}\right.$$

Không phải gõ thủ công mà tối là mạng lác


:like  MATHS   :like

ღ Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 

 

:ukliam2: Học, Học nữa , Học mãi     :ukliam2:

:icon12:  :icon12:  :icon12:

 

   :ukliam2:      My Blog : http://chuhoangtrung....blogspot.com/      :ukliam2:

 


#6
xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Vẫn sai rồi



#7
chieckhantiennu

chieckhantiennu

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 621 Bài viết

 

 

$\sum \frac{1}{a+3b} \geq \frac{9}{4.3}=\frac{3}{4}$
$\frac{3}{3+abc}\geq \frac{3}{4}$
Vậy  $\Rightarrow $ đpcm

 

Chỗ này gặp vấn đề rồi nhỉ?


Đỗ Hoài Phương

Một số phận..

Facebook: https://www.facebook.com/phuong.july.969


#8
xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Thôi để mình giải luôn nhé!

 

$\sum \frac{1}{a+3b} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
Ta cần chứng minh:  9 + 3abc $\geq $ 4(a + b + c)     (1)
Đặt a= 1 - x, b= 1 - y, c= 1 - z,  $\Rightarrow$  $0\leq  x,y,z <1$
Khi đó: (1) $\Leftrightarrow $ 9 + 3(1 - x)(1 - y)(1 - z) $\geq$ 4(3 - x - y - z)
                 $\Leftrightarrow $  $ x + y + z + 3(xy + yz + zx) \geq 3xyz $
Sử dụng AM-GM ta sẽ có:
          $  x + y + z + 3(xy + yz + zx) \geq 3\sqrt[3]{xyz} + 9(\sqrt[3]{xyz})^{2} \geq 12xyz\geq 3xyz $ 
 $\Leftrightarrow $   đpcm.
             Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ x = y = z =0
                                         $\Leftrightarrow$ a = b = c =1.
 
 
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh