Chủ đề này có 1 trả lời

[yeutoanhocnbk]

Giải  phương trình sau :

$8^{x}+3^{x}=7^{x}+4^{x}$

 

@MOD : -Học cách đặt tiêu đề đúng quy định tại đây

               -Học cách gõ $LATEX$ tại đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 10-08-2014 - 10:27

[Kool LL]

Giải  phương trình sau :

$8^{x}+3^{x}=7^{x}+4^{x}$

Xét $f(t)=(t+1)^x-t^x$ với $t>0$

$f'(t)=x.(t+1)^{x-1}-x.t^{x-1}=x.t^{x-1}.\left[ \left(1+ \frac{1}{t} \right)^{x-1}-1\right]$.

 

* NX : $x=0\ ;\ x=1$ là nghiệm của pt.

 

* Xét $x>1$ : thì $f'(t)>0$.  Suy ra $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}^+$.

$\Rightarrow f(7)>f(3)\Rightarrow 8^x-7^x>4^x-3^x\Rightarrow$ PT VN với $x>1$.

 

* Với $0<x<1$ : thì $f'(t)<0$. Suy ra $f(t)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}^+$.

$\Rightarrow f(7)<f(3)\Rightarrow 8^x-7^x<4^x-3^x\Rightarrow$ PT VN với $0<x<1$.

 

* Với $x<0$ : thì $f'(t)>0$. Suy ra $f(t)$ đồng biến trên$\mathbb{R}^+$.

$\Rightarrow f(7)>f(3)\Rightarrow 8^x-7^x>4^x-3^x\Rightarrow$ PT VN với $x<0$.

 

Vậy PT chỉ có 2 nghiệm là $x=0$ hoặc $x=1$.